ВУЗ:
Составители:
5 Классические методы доказательства
Центральным понятием, введенным математикой, явилось доказательство. Само
его появление коренным образом видоизменило стиль мышления значительной части лю-
дей и положило начало тому, что сейчас называют рациональным научным мышлением.
Будем придерживаться содержательного определения доказательства, данного русским
математиком Н. Н. Непейвода:
Доказательство – конструкция, синтаксическая правильность которой гарантирует се-
мантическую.
Естественно, что столь общее и гибкое понятие, как доказательство, должно
быть приложимо самыми разными способами. Выделим два вида использование доказа-
тельства.
Использование доказательства
1. Сведение новой задачи к уже решенным задачам.
2. Выявление условий, при которых можно пользоваться данным утверждением.
Чистые математики занимаются тем, что решают задачи. Никакое математическое
доказательство не ведется с самого начала (за исключением нескольких примитивных
теорем в учебниках логики и алгебры). Оно заканчивается ссылками на уже известные
теоремы, которые когда-то были математическими задачами. Таким образом, как говорят
в математическом фольклоре, «решить задачу – значит свести ее к уже решенным».
Эта привычка сводить новые задачи к уже решенным послужила даже основанием
для шутки, которая на самом деле достаточно точно отражает суть математического
метода:
Математику задали вопрос:
– Как приготовить чай?
– Элементарно. Берем чайник, наливаем в него воду, зажигаем газ, ставим чайник
на огонь, ждем пока закипит, выключаем газ, кладем заварку в соответствующий сосуд,
заливаем ее кипятком, ждем еще пять минут, и чай готов.
– А если у нас уже есть чайник с кипятком?
– Выливаем из него кипяток и сводим задачу к предыдущей.
Именно так и действует хороший математик, решая задачу.
Даже работая в рамках какой-нибудь формальной теории, математик пытается не-
формально подходить к доказательству, облегчая себе жизнь. Для этого уже доказанные
теоремы используются наравне с аксиомами, кроме того используются новые правила вы-
вода, обоснованность применения которых, следует из существующих правил вывода и
аксиом.
Например, справедливо цепное правило вывода, которое позволяет вывести новую
импликацию из двух данных импликаций. Можно записать его следующим образом:
A B, B C |– A C.
Во всей своей полноте понятие доказательства несомненно обладает и психологи-
ческими признаками. Надо обладать красноречием и умением убеждать, чтобы слушатели
(или читатели) приняли ваше доказательство. С неформальной точки зрения, доказатель-
ство – это просто рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы го-
товы убеждать других.
В классической логике используются следующие методы доказательства:
27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
