Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных. Алексеева Е.Н. - 40 стр.

                                                             40

                             Правило Лопиталя вычисления пределов.
    Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки
a, а также являются одновременно бесконечно малыми (или бесконечно больши-
ми) при x → a . Пусть, далее, g '( x ) ≠ 0 в окрестности точки a (кроме, возможно,

самой точки). Если существует lim f '( x) , то существует и lim f ( x) , причем
                                                   x →a   g '( x)                             x →a   g ( x)
       f ( x)         f '( x) .
lim           = lim
x →a   g ( x)   x → a g '( x)
   Пример. Найти с помощью правила Лопиталя:
   а) lim 2ln(1 + x ) − 2sin x + x ;
                                  2
                                      б) lim x ln(sin x) ;
      x →0            x3                 x →+0

   в)           (
             lim x − ln 2 ( x + 1)
         x → +∞
                                      );                            г)
                                                                          lim
                                                                         x →π 2
                                                                                  (sin x )tg x .
                                                                                            2


   Решение. a) В данном случае после подстановки x=0 замечаем, что и числи-
тель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, т.е. мы имеем дело с неопределен-
ностью  0  . Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалент-
              0 
ным функциям нельзя, так как в числителе – сумма. Воспользуемся правилом
Лопиталя, предварительно проверив все условия.
   Неопределенность  0  уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаме-
                      0 

нателе, дифференцируемы при всех вещественных x и g '( x) = 3 x 2 ≠ 0 при
 x ≠ 0 . В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае сущест-
вует предел отношения производных, то его значение совпадет со значением иско-
мого предела. Предположим, что это так, и проведем вычисления:
           2ln(1 + x) − 2sin x + x2           (0/ 0)
                                                           (2ln(1 + x) − 2sin x + x2 )'
       lim                                     = lim                                    =
       x→0            x3                               x→0            ( x3 )'



                                                                                    −1
                                                                                  '
        2                                           1                 
            − 2cos x + 2 x                          1 + x − cos x + x  2                 + sin x + 1 (0 / 0 )
                                                                                    +
                                               lim                     = lim        x) 2
= lim 1 + x
                                  (0 / 0 )
                                             2                                   (1
                                    =                                                                    =
  x→0         3x 2                           3 x→0         (x2 ) '        3 x →0           2x