Колебания и волны. Алешкевич В.А - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Êîëåáàíèÿ è âîëíû
110
Ñîãëàñíî (5.7), èçáûòî÷íîå äàâëåíèå îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì
ξ
ρ
−=δρ=δ
V
Sc
cp
2
0
2
. (5.32)
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñòîëáà âîçäóõà ïðèíèìàåò âèä
Sp
t
m ⋅δ=
ξ
2
2
d
d
,
èëè
ξ
ρ
−=
ξ
ρ
V
Sc
t
S
22
0
2
2
0
d
d
l
. (5.33)
Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñòîëáà âîçäóõà â ãîðëîâèíå, èëè
÷àñòîòà ðåçîíàòîðà Ãåëüìãîëüöà, ðàâíà
lV
S
c=ω
0
. (5.34)
Ïðè îáúåìå ðåçîíàòîðà
3
10
−
=
V
ì
3
, ïëîùàäè îòâåðñòèÿ ãîðëîâèíû
1=S
ñì
2
è
å¸ äëèíå
1=l
ñì, ñêîðîñòè çâóêà
334=c
ì/c äëÿ ÷àñòîòû
0
ν ïîëó÷èì âåëè÷èíó
168
1010
10
2
334
2
23
4
0
0
≈
⋅
π
=
π
ω
=ν
−−
−
Ãö, (5.35)
ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëûøèìîìó äèàïàçîíó çâóêîâûõ ÷àñòîò.
Çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé ðåçîíàòîðà îò åãî ïàðàìåòðîâ è
ïðåæäå âñåãî îò îáúåìà V ýôôåêòíî äåìîíñòðèðóåòñÿ â ñëåäóþùåì îïûòå (ðèñ. 5.14).
Ïåðåä äèíàìèêîì Ä, ïîäêëþ÷åííûì ê ãåíåðàòîðó çâóêîâîé ÷àñòîòû à óñòàíàâëèâàþòñÿ
íåñêîëüêî ðåçîíàòîðîâ, îòëè÷àþùèõñÿ ñâîèìè ðàçìåðàìè. Îêîëî çàäíåãî îòâåðñòèÿ êàæ-
äîãî èç ðåçîíàòîðîâ ïîìåùàåòñÿ ëåãêèé áóìàæíûé ïðîïåëëåð-âåðòóøêà, êîòîðûé ìî-
æåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Ïðè ïëàâíîì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû çâóêîâîãî
ãåíåðàòîðà áóäåò âîçðàñòàòü ÷àñòîòà àêóñòè÷åñêîé âîëíû, èñïóñêàåìîé äèíàìèêîì â
íàïðàâëåíèè ðåçîíàòîðîâ è èãðàþùåé ðîëü ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû. Ïðè
ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû ýòîé âîëíû
ν
ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè
1
ν ,
2
ν è
3
ν ðåçîíàòîðîâ äàâëåíèå âîçäóõà â èõ îáúåìàõ áóäåò êîëåáàòüñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé
(ðåçîíàíñíîé) àìïëèòóäîé. Èç çàäíèõ îòâåðñòèé ðåçîíàòîðîâ áóäóò áèòü ñèëüíûå ñòðóè
âîçäóõà, ÷òî ôèêñèðóåòñÿ ïî íà÷àëó âðàùåíèÿ âåðòóøåê ñíà÷àëà ó áîëüøîãî, çàòåì ó
ñðåäíåãî è, íàêîíåö, ó ñàìîãî ìàëåíüêîãî
ðåçîíàòîðà, èìåþùåãî ñàìóþ âûñîêóþ ñîá-
ñòâåííóþ ÷àñòîòó
3
ν .
Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ÷àñòî-
òå ðåçîíàòîðà
2
0
10~
ν
Ãö äëèíà âîçáóæ-
äàþùåé åãî âîëíû
3,3/
0
≈ν=λ c ì. Ýòà
äëèíà çíà÷èòåëüíî áîëüøå õàðàêòåðíûõ
ðàçìåðîâ ðåçîíàòîðà:
3/1
V>>λ
. Ñëåäîâà-
òåëüíî, íå ìîæåò áûòü è ðå÷è î ñòîÿ÷åé
àêóñòè÷åñêîé âîëíå ÷àñòîòû
0
ν â ñàìîé
ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè.
Ðèñ. 5.14.
Ã
Ä
n
1
n
2
n
3
110                                                             Êîëåáàíèÿ è âîëíû

Ñîãëàñíî (5.7), èçáûòî÷íîå äàâëåíèå îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì
                                          ρ0c 2 S
                               δp = c 2 δρ = −    ξ.                                (5.32)
                                            V
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñòîëáà âîçäóõà ïðèíèìàåò âèä
                                   d 2ξ
                                 m 2 = δp ⋅ S ,
                                   dt
èëè
                                          ρ0c 2 S 2
                                        d 2ξ
                               ρ 0 Sl          =−   ξ.                     (5.33)
                                  dt 2      V
Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñòîëáà âîçäóõà â ãîðëîâèíå, èëè
÷àñòîòà ðåçîíàòîðà Ãåëüìãîëüöà, ðàâíà
                                                    S
                                        ω0 = c        .                             (5.34)
                                                   Vl
        Ïðè îáúåìå ðåçîíàòîðà V = 10 −3        ì3, ïëîùàäè îòâåðñòèÿ ãîðëîâèíû S = 1 ñì2 è
å¸ äëèíå l = 1 ñì, ñêîðîñòè çâóêà c = 334 ì/c äëÿ ÷àñòîòû ν 0 ïîëó÷èì âåëè÷èíó
                              ω0 334       10 −4
                        ν0 =     =                  ≈ 168 Ãö,                   (5.35)
                              2π   2π 10 −3 ⋅ 10 −2
ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëûøèìîìó äèàïàçîíó çâóêîâûõ ÷àñòîò.
         Çàâèñèìîñòü ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé ðåçîíàòîðà îò åãî ïàðàìåòðîâ è
ïðåæäå âñåãî îò îáúåìà V ýôôåêòíî äåìîíñòðèðóåòñÿ â ñëåäóþùåì îïûòå (ðèñ. 5.14).
Ïåðåä äèíàìèêîì Ä, ïîäêëþ÷åííûì ê ãåíåðàòîðó çâóêîâîé ÷àñòîòû à óñòàíàâëèâàþòñÿ
íåñêîëüêî ðåçîíàòîðîâ, îòëè÷àþùèõñÿ ñâîèìè ðàçìåðàìè. Îêîëî çàäíåãî îòâåðñòèÿ êàæ-
äîãî èç ðåçîíàòîðîâ ïîìåùàåòñÿ ëåãêèé áóìàæíûé ïðîïåëëåð-âåðòóøêà, êîòîðûé ìî-
æåò âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Ïðè ïëàâíîì óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû çâóêîâîãî
ãåíåðàòîðà áóäåò âîçðàñòàòü ÷àñòîòà àêóñòè÷åñêîé âîëíû, èñïóñêàåìîé äèíàìèêîì â
íàïðàâëåíèè ðåçîíàòîðîâ è èãðàþùåé ðîëü ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû. Ïðè
ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû ýòîé âîëíû ν ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ν1 ,
ν 2 è ν 3 ðåçîíàòîðîâ äàâëåíèå âîçäóõà â èõ îáúåìàõ áóäåò êîëåáàòüñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé
(ðåçîíàíñíîé) àìïëèòóäîé. Èç çàäíèõ îòâåðñòèé ðåçîíàòîðîâ áóäóò áèòü ñèëüíûå ñòðóè
âîçäóõà, ÷òî ôèêñèðóåòñÿ ïî íà÷àëó âðàùåíèÿ âåðòóøåê ñíà÷àëà ó áîëüøîãî, çàòåì ó
                                           ñðåäíåãî è, íàêîíåö, ó ñàìîãî ìàëåíüêîãî
   Ã                            n3         ðåçîíàòîðà, èìåþùåãî ñàìóþ âûñîêóþ ñîá-
                                           ñòâåííóþ ÷àñòîòó ν 3 .
                           n2                       Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ÷àñòî-
         Ä                                 òå ðåçîíàòîðà ν 0 ~ 10 2 Ãö äëèíà âîçáóæ-
                  n1                       äàþùåé åãî âîëíû λ = c / ν 0 ≈ 3,3 ì. Ýòà
                                           äëèíà çíà÷èòåëüíî áîëüøå õàðàêòåðíûõ
                                           ðàçìåðîâ ðåçîíàòîðà: λ >> V 1/ 3 . Ñëåäîâà-
                                           òåëüíî, íå ìîæåò áûòü è ðå÷è î ñòîÿ÷åé
                                           àêóñòè÷åñêîé âîëíå ÷àñòîòû ν 0 â ñàìîé
                Ðèñ. 5.14.                 ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè.

Страницы