Механика твердого тела - 22 стр.

22                                                                               Ìåõàíèêà
äåò ëåã÷å (ðèñ. 2.2â). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïèñàíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
òåëà íåîáõîäèìî ââåñòè íîâûå ïîíÿòèÿ: ìîìåíò èíåðöèè, ìîìåíò èìïóëüñà,
ìîìåíò ñèëû.
       Ìîìåíò èìïóëüñà. Òåíçîð èíåðöèè. Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî
íåïîäâèæíîé òî÷êè – âàæíåéøåå ïîíÿòèå â äèíàìèêå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
òâåðäîãî òåëà. Îí îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê:
                             L =   ∑ r i × ∆ p i = ∑ ∆m i ri × v i .                         (2.1)
                                    i               i

Çäåñü ∆ p i = ∆m i v i – èìïóëüñ ýëåìåíòàðíîé ìàññû ∆m i â ëàáîðàòîðíîé ñèñ-
òåìå XYZ, à ri – ðàäèóñ-âåêòîð ìàññû ∆m i ñ íà÷àëîì â òîé íåïîäâèæíîé
òî÷êå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ìîìåíò èìïóëüñà òåëà.
       Ñ ó÷åòîì ïîñòîÿíñòâà ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà
âåêòîð ìîìåíòà èìïóëüñà L óäàåòñÿ ñâÿçàòü ñ âåêòîðîì óãëîâîé ñêîðîñòè w.
       Ðàññìîòðèì, ê ïðèìåðó, äâå îäèíàêîâûå òî÷å÷íûå ìàññû m, óêðåï-
ëåííûå íà êîíöàõ íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ ÀÂ (ðèñ. 2.3). Ñòåðæåíü ñ ìàññàìè âðà-
ùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
ñåðåäèíó ñòåðæíÿ è ïåðïåíäèêóëÿðíîé åìó.  ýòîì ñëó÷àå
                                                   L = mr1 × v 1 + mr2 × v 2 = 2 mr 2 w . (2.2)
                       w                    Çäåñü       ó÷òåíî,        ÷òî   r1 = r2 = r ,      à

                                             v 1 = v 2 = ωr .
                       L                            Ñóùåñòâåííî, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå âåê-
                                            òîð L íàïðàâëåí òàê æå, êàê è w. Ê ñîæàëåíèþ,
m r1                         r2 m           òàê áûâàåò íå âñåãäà. Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ
                                            íà ïðèìåðå, ïîêàçàííîì íà ðèñ. 2.4. Çäåñü íåâå-

 A                     O                B
                                            ñîìûé ñòåðæåíü ÀÂ ñ äâóìÿ ìàññàìè m íà êîí-
                                            öàõ æåñòêî çàêðåïëåí íà âåðòèêàëüíîé îñè (â
                  Ðèñ. 2.3                  òî÷êå Î) ïîä íåêîòîðûì óãëîì α ê íåé è ëå-
                                            æèò â ïëîñêîñòè Oyz. Ïðè âðàùåíèè ñòåðæíÿ
                                            âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
                      z                     w âåêòîð L, îïðåäåëåííûé ïî (2.1), áóäåò íà-
                      w                     õîäèòüñÿ â ïëîñêîñòè Oyz è ñîñòàâèò óãîë
                                             π
L                                            2
                                               − α ñ îñüþ z. Ñèñòåìà xyz, ââåäåííàÿ â íà-

                      a             B       ÷àëå ëåêöèè 1, æåñòêî ñâÿçàíà ñî ñòåðæíåì è
                                    m       ïîâîðà÷èâàåòñÿ âìåñòå ñ íèì. Ïðè ýòîì âåêòîð
                               r2           L îñòàåòñÿ â ïëîñêîñòè Oyz, à â ëàáîðàòîðíîé
                                            ñèñòåìå äâèæåòñÿ ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
     x                O                 y                        π
                                            ñ óãëîì ïîëóðàñòâîðà   −α.
A            r1                                                  2
                                                   Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ L â ñëó÷àå
         m                                  òâåðäîãî òåëà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, çàêðåï-
                  Ðèñ. 2.4                  ëåííîãî â íåêîòîðîé òî÷êå Î.
       Ïóñòü ri – ðàäèóñ-âåêòîð ýëåìåíòàðíîé ìàññû ∆m i òâåðäîãî òåëà, à w –
óãëîâàÿ ñêîðîñòü. Òîãäà