Механика твердого тела - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

24 Ìåõàíèêà
âàþòñÿ öåíòðîáåæíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî
JJ J J
xy yx zx zy
===,, J J
xz yz
. Òàêîé òåíçîð íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûì.
Åñëè êîîðäèíàòàì x, y è z ïðèñâîèòü íîìåðà 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî,
òî (2.9-2.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
LJ
kk
=
=
∑
l
l
l
1
3
ω;
k,
l
= 1, 2, 3. (2.13)
 ñèìâîëè÷åñêîì âèäå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
L
=
$
Jw
. (2.14)
Ñàìîå ãëàâíîå, ÷òî ñòîèò çà ïðèâåäåííûìè âûøå ôîðìóëàìè, çàêëþ-
÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äåâÿòü âåëè÷èí
J
k
l
(èç íèõ øåñòü íåçàâèñèìûõ) îïðåäå-
ëÿþò îäíîçíà÷íóþ ñâÿçü ìåæäó L è w, ïðè÷åì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî L, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ w (ðèñ. 2.5).
Èòàê, ìû ñòîëêíóëèñü ñ íîâûì òèïîì âåëè÷èí, èìåþùèì âàæíîå
çíà÷åíèå â ôèçèêå  òåíçîðîì. Åñëè äëÿ çàäàíèÿ
ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû íåîáõîäèìî îäíî ÷èñëî (çíà-
÷åíèå ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû), âåêòîðíîé  òðè
÷èñëà (òðè ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñè äåêàðòîâîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò), òî äëÿ çàäàíèÿ òåíçîðà íå-
îáõîäèìû â îáùåì ñëó÷àå 9 ÷èñåë. Íà ÿçûêå ìàòå-
ìàòèêè òåíçîð  ýòî ìíîãîêîìïîíåíòíàÿ âåëè-
÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ îïðåäåëåííûì ïîâåäå-
íèåì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñèñòåìû êîîðäèíàò (â
äàííîì ñëó÷àå êîìïîíåíòû òåíçîðà èíåðöèè ïðå-
îáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
êîîðäèíàò).
Íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ òåíçîðíûõ âåëè-
÷èí ñâÿçàíà ñ ðàçëè÷íîãî ðîäà àíèçîòðîïèåé ñâîéñòâ
ôèçè÷åñêèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Òåíçîð ñâÿçûâàåò äâå âåêòîðíûå âåëè-
÷èíû, êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ, íî â ñèëó àíèçîòðîïèè
ñâîéñòâ îáúåêòà íå ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì ïî íàïðàâëåíèþ.  ñëó÷àå L è w
ðåøàþùóþ ðîëü èãðàåò àíèçîòðîïèÿ ôîðìû òåëà (îòñóòñòâèå îïðåäåëåííîé
ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñåé xyz).  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ýòî ìîæåò áûòü àíèçîòðî-
ïèÿ, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêèõ èëè ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ âåùåñòâà. Òàê, âåêòîðû
ïîëÿðèçàöèè âåùåñòâà Ð è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å ñâÿçàíû òåíçî-
ðîì ïîëÿðèçóåìîñòè
$
:α
PE
=εα
0
$
( ε
0
 ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî â ñèëó àíèçîòðîïèè ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ âåùåñòâî ïîëÿðèçóåòñÿ íå ïî
ïîëþ, òî åñòü íå ïî ïîëþ ñìåùàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû
â ìîëåêóëàõ âåùåñòâà. Ïðèìåðàìè äðóãèõ, â îáùåì ñëó÷àå òåíçîðíûõ âåëè÷èí
ÿâëÿþòñÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà.
Âàæíóþ ðîëü â ìåõàíèêå èãðàþò òåíçîðû äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé. Ñ ýòèìè è
äðóãèìè òåíçîðíûìè âåëè÷èíàìè âû ïîçíàêîìèòåñü ïðè èçó÷åíèè ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ðàçäåëîâ êóðñà îáùåé ôèçèêè.
Çàìå÷àíèå. Åñëè
r
i
,
w
è L â âûðàæåíèè (2.3) ïðîåêòèðîâàòü íà îñè
ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ, òî êîìïîíåíòû òåíçîðà
J
k
l
îêàçàëèñü áû çàâè-
Z
O
z
ω
L
y
x
X
Y
Ðèñ. 2.5
24                                                                    Ìåõàíèêà
âàþòñÿ öåíòðîáåæíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî
J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy . Òàêîé òåíçîð íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûì.
        Åñëè êîîðäèíàòàì x, y è z ïðèñâîèòü íîìåðà 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî,
òî (2.9-2.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

                 3
         Lk =   ∑ J kl ω l ;   k, l = 1, 2, 3.                              (2.13)
                l =1

 ñèìâîëè÷åñêîì âèäå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
                                           $ .
                                       L = Jw                    (2.14)
       Ñàìîå ãëàâíîå, ÷òî ñòîèò çà ïðèâåäåííûìè âûøå ôîðìóëàìè, çàêëþ-
÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äåâÿòü âåëè÷èí J kl (èç íèõ øåñòü íåçàâèñèìûõ) îïðåäå-
ëÿþò îäíîçíà÷íóþ ñâÿçü ìåæäó L è w, ïðè÷åì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî L, âîîáùå
ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ w (ðèñ. 2.5).
       Èòàê, ìû ñòîëêíóëèñü ñ íîâûì òèïîì âåëè÷èí, èìåþùèì âàæíîå
                            çíà÷åíèå â ôèçèêå – òåíçîðîì. Åñëè äëÿ çàäàíèÿ
                            ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû íåîáõîäèìî îäíî ÷èñëî (çíà-
        Z      z            ÷åíèå ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû), âåêòîðíîé – òðè
                   ω L      ÷èñëà (òðè ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñè äåêàðòîâîé
                            ñèñòåìû êîîðäèíàò), òî äëÿ çàäàíèÿ òåíçîðà íå-
                            îáõîäèìû â îáùåì ñëó÷àå 9 ÷èñåë. Íà ÿçûêå ìàòå-
        O               Y   ìàòèêè òåíçîð – ýòî ìíîãîêîìïîíåíòíàÿ âåëè-
                            ÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿñÿ îïðåäåëåííûì ïîâåäå-
x                           íèåì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñèñòåìû êîîðäèíàò (â
                       y äàííîì ñëó÷àå êîìïîíåíòû òåíçîðà èíåðöèè ïðå-
    X                       îáðàçóþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
                            êîîðäèíàò).
          Ðèñ. 2.5
                                       Íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ òåíçîðíûõ âåëè-
                            ÷èí ñâÿçàíà ñ ðàçëè÷íîãî ðîäà àíèçîòðîïèåé ñâîéñòâ
ôèçè÷åñêèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Òåíçîð ñâÿçûâàåò äâå âåêòîðíûå âåëè-
÷èíû, êîòîðûå ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó ïî ìîäóëþ, íî â ñèëó àíèçîòðîïèè
ñâîéñòâ îáúåêòà íå ñîâïàäàþò äðóã ñ äðóãîì ïî íàïðàâëåíèþ.  ñëó÷àå L è w
ðåøàþùóþ ðîëü èãðàåò “àíèçîòðîïèÿ” ôîðìû òåëà (îòñóòñòâèå îïðåäåëåííîé
ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñåé xyz).  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ýòî ìîæåò áûòü àíèçîòðî-
ïèÿ, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêèõ èëè ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ âåùåñòâà. Òàê, âåêòîðû
ïîëÿðèçàöèè âåùåñòâà Ð è íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å ñâÿçàíû òåíçî-
ðîì ïîëÿðèçóåìîñòè α$ : P = ε 0α$ E ( ε 0 – ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ). Ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî â ñèëó àíèçîòðîïèè ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ âåùåñòâî ïîëÿðèçóåòñÿ “íå ïî
ïîëþ”, òî åñòü “íå ïî ïîëþ” ñìåùàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû
â ìîëåêóëàõ âåùåñòâà. Ïðèìåðàìè äðóãèõ, â îáùåì ñëó÷àå òåíçîðíûõ âåëè÷èí
ÿâëÿþòñÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà.
Âàæíóþ ðîëü â ìåõàíèêå èãðàþò òåíçîðû äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé. Ñ ýòèìè è
äðóãèìè òåíçîðíûìè âåëè÷èíàìè âû ïîçíàêîìèòåñü ïðè èçó÷åíèè ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ðàçäåëîâ êóðñà îáùåé ôèçèêè.
       Çàìå÷àíèå. Åñëè ri , w è L â âûðàæåíèè (2.3) ïðîåêòèðîâàòü íà îñè
ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ, òî êîìïîíåíòû òåíçîðà J kl îêàçàëèñü áû çàâè-

Страницы