Механика твердого тела - 25 стр.

Ëåêöèÿ 2                                                                                  25
ñÿùèìè îò âðåìåíè. Òàêîé ïîäõîä â ïðèíöèïå âîçìîæåí; îí, â ÷àñòíîñòè,
èñïîëüçóåòñÿ â Áåðêëååâñêîì êóðñå ôèçèêè [7].
       Ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Âîçíèêàåò âîïðîñ: âîçìîæåí ëè äëÿ ïðîèçâîëü-
íîãî òâåðäîãî òåëà ñëó÷àé, êîãäà âåêòîðû L è w ñîâïàäàþò? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
äëÿ âñÿêîãî òåëà è ëþáîé òî÷êè Î èìåþòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå òðè âçàèìíî
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿ w (èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, òðè âçàèìíî ïåð-
ïåíäèêóëÿðíûõ îñè âðàùåíèÿ), äëÿ êîòîðûõ íàïðàâëåíèÿ L è w ñîâïàäàþò.
Òàêèå îñè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà.
       Åñëè îñè Ox, Oy è Oz ñîâìåñòèòü ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà, òî
ìàòðèöà J kl áóäåò èìåòü äèàãîíàëüíûé âèä:

                                              J xx    0        0
                                                                   
                                      J$ 0 =  0      J yy      0.                     (2.15)
                                                                   
                                              0       0       J zz 

Âåëè÷èíû     J xx ≡ J x , J yy ≡ J y , J zz ≡ J z â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè
ìîìåíòàìè èíåðöèè òåëà. Ïðè ýòîì
                     L x = Jxω x ;    L y = Jyω y ;          L z = Jzω z ,
                                                                      (2.16)
òî åñòü, äåéñòâèòåëüíî, åñëè âåêòîð w íàïðàâëåí âäîëü îäíîé èç ãëàâíûõ
îñåé èíåðöèè òåëà, òî âåêòîð L áóäåò íàïðàâëåí òî÷íî òàê æå (ðèñ. 2.6).
        Ðàñïîëîæåíèå ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè â òåëå è çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè çàâèñÿò îò âûáîðà òî÷êè Î. Åñëè Î ñîâïàäàåò
ñ öåíòðîì ìàññ, òî ãëàâíûå îñè íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè
òåëà. Åñëè ãëàâíûå îñè èíåðöèè òåëà èçâåñòíû, òî çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìîìåí-
òîâ èíåðöèè âû÷èñëÿþòñÿ èç ãåîìåòðèè ìàññ. Íàïðèìåð:

               J x = ∑ ∆m i (ri2 − x 2i ) = ∑ ∆m i (y 2i + z 2i ) = ∑ ∆m i ρ2i .        (2.17)
                      i                       i                          i

Çäåñü   ρ i – ðàññòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ìàññû ∆m i îò ãëàâíîé îñè Ox.
        Êàê æå îïðåäåëèòü ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ âûáðàííîé òî÷êè Î òâåð-
äîãî òåëà? Åñëè îñè Ox, Oy è Oz ïðîâåäåíû â òåëå ïðîèçâîëüíî, òî â îáùåì
ñëó÷àå îíè íå ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè. Òàêîãî ñîâïàäåíèÿ ìîæ-
íî äîáèòüñÿ ïóòåì íåêîòîðîãî ïîâîðîòà èñõîäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñè-
òåëüíî òâåðäîãî òåëà. Â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ìàòðèöà
J kl ñòàíîâèòñÿ äèàãîíàëüíîé.                                       z        Z
        Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ãëàâíûå îñè èíåðöèè                        L
óäàåòñÿ ëåãêî îïðåäåëèòü èç ñîîáðàæåíèé ñèììåò-                                         y
ðèè. Íà ðèñ. 2.7-2.10 èçîáðàæåíû ãëàâíûå îñè èíåð-                       ω
öèè äëÿ ðàçëè÷íûõ òî÷åê òåë, îáëàäàþùèõ îïðåäå-                                             Y
ëåííîé ñèììåòðèåé: öèëèíäðà (ðèñ. 2.7), ïðÿìîó-
ãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 2.8), êóáà (ðèñ. 2.9)                             O
è øàðà (ðèñ.2.10). Ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî âî âñåõ ýòèõ             X
ñëó÷àÿõ   J xy = J xz = J yx = J yz = J zx = J zy = 0 . Íà-              x
ïðèìåð, â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïè-                                 Ðèñ. 2.6