Механика твердого тела - 27 стр.

Ëåêöèÿ 2                                                                                           27
                                                              a    b
                                                 m                   ab
                            J xy        ∫
                                   = − xy dm = −
                                                 ab 0         ∫    ∫
                                                      xdx y dy = − m
                                                                     4
                                                                        < 0.                     (2.20)
                                                         0

       Äîïóñòèì, ÷òî îñè Ox ′ è O y ′ , ïîâåðíóòûå íà óãîë α îòíîñèòåëüíî
îñåé Ox è Oy – ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè Î. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðà-
çîâàíèå êîîðäèíàò èìååò âèä:
                                        x = x ′ cos α + y ′ sin α;                              (2.21)
                                        
                                        y = − x ′ sin α + y ′ cos α.                            (2.22)

Òîãäà áóäåì èìåòü

  J xx = ∫ y 2dm = ∫ (− x ′ sin α + y ′ cos α ) dm = J y′ sin 2 α + J x′ cos 2 α. (2.23)
                                                          2




Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî äëÿ ãëàâíûõ îñåé                  Ox ′ è O y ′       ∫ x ′y ′dm = 0.
Àíàëîãè÷íî

  J yy = ∫ x 2dm = ∫ (x ′ cos α + y ′ sin α ) dm = J y′ cos 2 α + J x′ sin 2 α.
                                                      2
                                                                                               (2.24)


               ∫
     J xy = − xydm = −        ∫ (x ′ cos α + y ′ sin α)(− x ′ sin α + y ′ cos α)dm =
               1                                                                                 (2.25)
         = −     sin 2α( J x ′ − J y ′ ).
               2

       Ïîäñòàâëÿÿ â (2.23 - 2.25) çíà÷åíèÿ                        J xx , J yy , è J xy èç (2.18 - 2.20),
ïîëó÷èì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ                            J x′ , J y′ è α:

                                                                       b2                      (2.26)
                                   J y ′ sin 2 α + J x ′ cos 2 α = m      ;
                                                                        3
                                                                      a2
                                              2               2
                                    J y ′ cos α + J x ′ sin α = m         ;                    (2.27)
                                                                       3

                                    (
                                    
                                    
                                                )                ab
                                     J x ′ − J y ′ sin 2α = m 2 .
                                                                                                (2.28)
Èç ýòîé ñèñòåìû, â ÷àñòíîñòè, ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî
                                                          3     ab
                                                tg2α =      ⋅ 2    .                             (2.29)
                                                          2 b − a2
       Äëÿ ñðàâíåíèÿ: åñëè                  α 0 – óãîë ìåæäó îñüþ Oy è äèàãîíàëüþ ïðÿìî-
óãîëüíîé ïëàñòèíêè, òî
                                               2ab
                               tg2α 0 =             ,                                            (2.30)
                                              b −a2
                                               2