ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
46 Ìåõàíèêà
II. Ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà.
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ â ïëîñ-
êîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà, íàïðèìåð, òîãî, â êîòîðîì ëå-
æèò öåíòð ìàññ. Ïðè ðàçëîæåíèè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðà-
ùàòåëüíîå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî îíà
çàâèñèò îò âûáîðà îñè âðàùåíèÿ, îäíàêî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ îäíîé è òîé æå (ñì. ëåêöèþ ¹1).
Åñëè â êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ âûáðàòü îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð
ìàññ, òî óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà áóäóò:
1. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
m
d
dt
v
F
0
0
=
. (3.19)
2. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð
ìàññ
J
d
dt
0
w
= M
0
. (3.20)
Îñîáåííîñòüþ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îñü âðàùåíèÿ ñî-
õðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå è îñòàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñ-
êîñòè, â êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå
ìîìåíòîâ (3.20) çàïèñàíî îòíîñèòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå, óñêîðåííî äâèæó-
ùåãîñÿ öåíòðà ìàññ, îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ëåêöèè, îíî èìååò
òàêîé æå âèä, êàê è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íà-
êëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ èñïîëüçî-
âàíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà.
Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (ðèñ. 3.11).
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.19 - 3.20) èìååò âèä:
m
d
dt
m
J
d
dt
⋅=++
=
v
gF N
RF
0
òð
òð
;
.
0
w
×
(. )
(. )
321
322
Ê ýòîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî äîáàâèòü óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè
d
dt
d
dt
v
R
0
=×
w
.
(3.23)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç
óñëîâèÿ, ÷òî öèëèíäð ñêàòûâàåòñÿ áåç ïðî-
ñêàëüçûâàíèÿ, òî åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Ì öè-
ëèíäðà ðàâíà íóëþ.
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
(3.21) çàïèøåì äëÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ è
ñèë íà îñü x âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à
óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.22) äëÿ ïðîåêöèé
óãëîâîãî óñêîðåíèÿ è ìîìåíòà ñèëû òðåíèÿ
O
N
x
y
M
a
mg
R
F
òð
Ðèñ. 3.11
46 Ìåõàíèêà II. Ïëîñêîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè âñå òî÷êè òåëà äâèæóòñÿ â ïëîñ- êîñòÿõ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå îäíîãî èç ñå÷åíèé òåëà, íàïðèìåð, òîãî, â êîòîðîì ëå- æèò öåíòð ìàññ. Ïðè ðàçëîæåíèè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðà- ùàòåëüíîå ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëåíà íåîäíîçíà÷íî îíà çàâèñèò îò âûáîðà îñè âðàùåíèÿ, îäíàêî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îêàçûâàåòñÿ îäíîé è òîé æå (ñì. ëåêöèþ ¹1). Åñëè â êà÷åñòâå îñè âðàùåíèÿ âûáðàòü îñü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð ìàññ, òî óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà áóäóò: 1. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ dv 0 = F0 . m (3.19) dt 2. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ dw = M0 . J0 (3.20) dt Îñîáåííîñòüþ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îñü âðàùåíèÿ ñî- õðàíÿåò ñâîþ îðèåíòàöèþ â ïðîñòðàíñòâå è îñòàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñ- êîñòè, â êîòîðîé äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.20) çàïèñàíî îòíîñèòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå, óñêîðåííî äâèæó- ùåãîñÿ öåíòðà ìàññ, îäíàêî, êàê áûëî îòìå÷åíî â íà÷àëå ëåêöèè, îíî èìååò òàêîé æå âèä, êàê è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñêàòûâàíèè öèëèíäðà ñ íà- êëîííîé ïëîñêîñòè. Ïðèâåäåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñ èñïîëüçî- âàíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ïåðâûé ñïîñîá. Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ (ðèñ. 3.11). Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.19 - 3.20) èìååò âèä: dv 0 m ⋅ dt = mg + Fòð + N; (3.21) J dw = R × F . 0 dt òð (3.22) Ê ýòîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî äîáàâèòü óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè dv 0 dw N =R× . (3.23) dt dt Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî öèëèíäð ñêàòûâàåòñÿ áåç ïðî- O y ñêàëüçûâàíèÿ, òî åñòü ñêîðîñòü òî÷êè Ì öè- Fòð R x ëèíäðà ðàâíà íóëþ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ M (3.21) çàïèøåì äëÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèÿ è ñèë íà îñü x âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à mg a óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (3.22) äëÿ ïðîåêöèé Ðèñ. 3.11 óãëîâîãî óñêîðåíèÿ è ìîìåíòà ñèëû òðåíèÿ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »