Механика твердого тела - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

45
Ëåêöèÿ 3
ãäå m  ìàññà òåëà,
v
0
 ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ. Åñëè à  ðàññòîÿíèå îò îñè äî
öåíòðà ìàññ òåëà, òî
v
0
=ω a , (3.17)
è â ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
íàõîäèì
l =
J
ma
. (3.18)
Ïðè ýòîì òî÷êà C (öåíòð óäàðà) ñîâïàäàåò ñ òàê íàçûâàåìûì öåíòðîì êà÷à-
íèÿ äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà  òî÷êîé, ãäå íàäî ñîñðåäîòî÷èòü âñþ
ìàññó òâåðäîãî òåëà, ÷òîáû ïîëó÷åííûé ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê èìåë òà-
êîé æå ïåðèîä êîëåáàíèé, êàê è äàííûé ôèçè÷åñêèé.
 ñëó÷àå ñïëîøíîãî îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ äëèíîé L èìååì:
a
L
=
2
,
J
mL
=
2
3
, è
l =
2
3
L
.
Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ
l
(3.18) ñïðàâåäëèâî è äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà. Ïðè ýòîì íàäî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî òî÷êà
ïîäâåñà òåëà À è öåíòð ìàññ Î äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé âåðòèêàëè, à îñü
âðàùåíèÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà, ïðîõîäÿ-
ùèõ ÷åðåç òî÷êó À.
Ïðèìåð 1. Ïðè óäàðàõ ïàëêîé äëèíîé L ïî ïðåïÿòñòâèþ ðóêà íå ÷óâ-
ñòâóåò óäàðà (íå èñïûòûâàåò îòäà÷è) â òîì ñëó÷àå, åñëè óäàð ïðèõîäèòñÿ â
òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà ðàññòîÿíèè
LLLL−= − =l
2
3
1
3
îò ñâîáîäíîãî
êîíöà ïàëêè.
Ïðèìåð 2. Ïðè ãîðèçîíòàëüíîì óäàðå êèåì ïî áèëüÿðäíîìó øàðó
(ðèñ. 3.10) øàð íà÷èíàåò êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ â òîì ñëó÷àå, åcëè
óäàð íàíåñåí â òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ íà âûñîòå
h
J
ma
mR
mR
R== =
7
5
7
5
2
îò ïîâåðõíîñòè áèëüÿðäà, òî åñòü
íà
hR R−=
2
5
âûøå öåíòðà øàðà.
Åñëè óäàð áóäåò íàíåñåí íèæå,
êà÷åíèå áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ
ñêîëüæåíèåì â íàïðàâëåíèè äâè-
æåíèè øàðà. Åñëè óäàð íàíåñåí
âûøå, òî øàð â òî÷êå êàñàíèÿ ñ
áèëüÿðäíûì ñòîëîì áóäåò ïðî-
ñêàëüçûâàòü íàçàä.
Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû
ôîðìàëüíî íå îòíîñÿòñÿ ê âðàùåíèþ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè,
îäíàêî âñå ïðèâåäåííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ î öåíòðå óäàðà, î÷åâèäíî, îñòà-
þòñÿ â ñèëå è â ýòèõ ñëó÷àÿõ.
O
2/5 R
Ðèñ. 3.10
Ëåêöèÿ 3                                                                 45

ãäå m – ìàññà òåëà, v 0 – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ. Åñëè à – ðàññòîÿíèå îò îñè äî
öåíòðà ìàññ òåëà, òî
                                  v0 = ω a ,                    (3.17)
è â ðåçóëüòàòå èç óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
íàõîäèì
                                         J
                                      l=    .                     (3.18)
                                       ma
Ïðè ýòîì òî÷êà C (öåíòð óäàðà) ñîâïàäàåò ñ òàê íàçûâàåìûì öåíòðîì êà÷à-
íèÿ äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà – òî÷êîé, ãäå íàäî ñîñðåäîòî÷èòü âñþ
ìàññó òâåðäîãî òåëà, ÷òîáû ïîëó÷åííûé ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê èìåë òà-
êîé æå ïåðèîä êîëåáàíèé, êàê è äàííûé ôèçè÷åñêèé.
        ñëó÷àå ñïëîøíîãî îäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ äëèíîé L èìååì:
                              L       mL2         2
                            a = , J=      , è l = L.
                              2         3         3
       Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ l (3.18) ñïðàâåäëèâî è äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà. Ïðè ýòîì íàäî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî òî÷êà
ïîäâåñà òåëà À è öåíòð ìàññ Î äîëæíû ëåæàòü íà îäíîé âåðòèêàëè, à îñü
âðàùåíèÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè òåëà, ïðîõîäÿ-
ùèõ ÷åðåç òî÷êó À.
       Ïðèìåð 1. Ïðè óäàðàõ ïàëêîé äëèíîé L ïî ïðåïÿòñòâèþ ðóêà “íå ÷óâ-
ñòâóåò” óäàðà (íå èñïûòûâàåò îòäà÷è) â òîì ñëó÷àå, åñëè óäàð ïðèõîäèòñÿ â
                                                    2    1
òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà ðàññòîÿíèè L − l = L −        L = L îò ñâîáîäíîãî
                                                    3    3
êîíöà ïàëêè.
        Ïðèìåð 2. Ïðè ãîðèçîíòàëüíîì óäàðå êèåì ïî áèëüÿðäíîìó øàðó
(ðèñ. 3.10) øàð íà÷èíàåò êà÷åíèå áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ â òîì ñëó÷àå, åcëè
óäàð íàíåñåí â òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ íà âûñîòå
              7
                mR 2
          J   5        7
     h =    =        = R
         ma     mR     5
îò ïîâåðõíîñòè áèëüÿðäà, òî åñòü
           2
íà h − R =   R âûøå öåíòðà øàðà.
           5
Åñëè óäàð áóäåò íàíåñåí íèæå,                                 2/5 R
êà÷åíèå áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ                    O
ñêîëüæåíèåì â íàïðàâëåíèè äâè-
æåíèè øàðà. Åñëè óäàð íàíåñåí
âûøå, òî øàð â òî÷êå êàñàíèÿ ñ
áèëüÿðäíûì ñòîëîì áóäåò ïðî-
ñêàëüçûâàòü íàçàä.                               Ðèñ. 3.10
       Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû
ôîðìàëüíî íå îòíîñÿòñÿ ê âðàùåíèþ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè,
îäíàêî âñå ïðèâåäåííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ î öåíòðå óäàðà, î÷åâèäíî, îñòà-
þòñÿ â ñèëå è â ýòèõ ñëó÷àÿõ.

Страницы