Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Ìåõàíèêà
Óðàâíåíèÿ (1.31-1.33) íàçûâàþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà. Îíè,
â ÷àñòíîñòè, ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìãíîâåí-
íîé óãëîâîé ñêîðîñòè w, åñëè çàêîí äâèæåíèÿ òåëà çàäàí â âèäå (1.22).
 ðÿäå ñëó÷àåâ âðàùå-
íèå òåëà ñ çàêðåïëåííîé òî÷-
êîé âîêðóã ìãíîâåííîé îñè
óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàê ñó-
ïåðïîçèöèþ äâóõ âðàùåíèé
âîêðóã ïåðåñåêàþùèõñÿ îñåé.
 ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà
ðèñ. 1.22, âåðøèíà êîíóñà
øàðíèðíî çàêðåïëåíà â òî÷-
êå Î; îñü êîíóñà ãîðèçîíòàëü-
íà, à îñíîâàíèå êîíóñà êà-
òèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ
ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè
S. Âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè w
íàïðàâëåí âäîëü ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ ÎÌ (ñêîðîñòü òî÷åê Î è Ì
ðàâíà íóëþ); ïðè äâèæåíèè êîíóñà ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ èçìåíÿåò ñâîå
ïîëîæåíèå, îïèñûâàÿ íåêîòîðóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ñ âåðøèíîé â
òî÷êå Î. Àáñîëþòíîå âðàùåíèå êîíóñà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñóììû
w = w
1
+ w
2
, (1.34)
ãäå w
1
 óãëîâàÿ ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíîãî âðàùåíèÿ êîíóñà âîêðóã ñîáñòâåí-
íîé îñè ñèììåòðèè, w
2
 óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïåðåíîñíîãî âðàùåíèÿ ñàìîé îñè
êîíóñà âîêðóã âåðòèêàëè. Åñëè çàäàíà ω
2
, òî
ωω αω ω
ω
α
ω
12 1 2
22
=⋅ = =
+
ctg
h
R
Rh
R
;, =
sin
2
ãäå
α
 óãîë ïîëóðàñòâîðà êîíóñà, R  ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà, h  åãî
âûñîòà.
Çàìå÷àíèå. Äâèæåíèå òåëà, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îäíîâðåìåííîå
âðàùåíèå âîêðóã íåñêîëüêèõ îñåé ñ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè w
1
, w
2
, w
3
, ... ,
ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê âðàùåíèþ âîêðóã îäíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
w = w
1
+ w
2
+ w
3
+ ... (1.35)
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå îñè âðàùåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà. Ñâîáîäíîå òâåðäîå òåëî ìîæåò
ñîâåðøàòü ëþáûå ïåðåìåùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ. Â
ýòîì, ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, îíî èìååò 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Îïèðàÿñü íà òåîðåìó Ýéëåðà (ñì. âûøå), äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåð-
äîãî òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæå-
íèÿ, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè äâèæóòñÿ, êàê ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ïîëþñ
(íà÷àëî ñèñòåìû x
0
y
0
z
0
), è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòîò ïîëþñ. Ýòîìó ðàññìîòðåíèþ ñîîòâåòñòâóþò 6 íåçàâè-
ñèìûõ êîîðäèíàò: 3 äåêàðòîâû êîîðäèíàòû X, Y, Z òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïî-
ëþñ, è 3 óãëà Ýéëåðà
ϕψθ, ,
(ñì. ðèñ. 1.3).
Ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè À òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ
îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì r
A
:
S
a
a
w
1
2
w
w
M
O
Ðèñ. 1.22
18                                                              Ìåõàíèêà
Óðàâíåíèÿ (1.31-1.33) íàçûâàþòñÿ êèíåìàòè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà. Îíè,
â ÷àñòíîñòè, ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìãíîâåí-
íîé óãëîâîé ñêîðîñòè w, åñëè çàêîí äâèæåíèÿ òåëà çàäàí â âèäå (1.22).
                                                        ðÿäå ñëó÷àåâ âðàùå-
      w                                        íèå òåëà ñ çàêðåïëåííîé òî÷-
                                               êîé âîêðóã ìãíîâåííîé îñè
                       w2                      óäîáíî ïðåäñòàâèòü êàê ñó-
    w1       a                                 ïåðïîçèöèþ äâóõ âðàùåíèé
                                               âîêðóã ïåðåñåêàþùèõñÿ îñåé.
                  O         a                   ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà
                                               ðèñ. 1.22, âåðøèíà êîíóñà
  S                                M           øàðíèðíî çàêðåïëåíà â òî÷-
                                               êå Î; îñü êîíóñà ãîðèçîíòàëü-
                                               íà, à îñíîâàíèå êîíóñà êà-
                                               òèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ
                  Ðèñ. 1.22                    ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè
                                               S. Âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè w
íàïðàâëåí âäîëü ìãíîâåííîé îñè âðàùåíèÿ ÎÌ (ñêîðîñòü òî÷åê Î è Ì
ðàâíà íóëþ); ïðè äâèæåíèè êîíóñà ìãíîâåííàÿ îñü âðàùåíèÿ èçìåíÿåò ñâîå
ïîëîæåíèå, îïèñûâàÿ íåêîòîðóþ êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ñ âåðøèíîé â
òî÷êå Î. Àáñîëþòíîå âðàùåíèå êîíóñà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñóììû
                                     w = w1 + w2 ,                     (1.34)
ãäå w1– óãëîâàÿ ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíîãî âðàùåíèÿ êîíóñà âîêðóã ñîáñòâåí-
íîé îñè ñèììåòðèè, w2 – óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïåðåíîñíîãî âðàùåíèÿ ñàìîé îñè
êîíóñà âîêðóã âåðòèêàëè. Åñëè çàäàíà ω 2 , òî

                                   h         ω        R 2 + h2
                ω1 = ω 2 ⋅ ctgα = ω1 ; ω = 2 = ω2              ,
                                  R         sin α          R
ãäå α — óãîë ïîëóðàñòâîðà êîíóñà, R — ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà, h — åãî
âûñîòà.
       Çàìå÷àíèå. Äâèæåíèå òåëà, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé îäíîâðåìåííîå
âðàùåíèå âîêðóã íåñêîëüêèõ îñåé ñ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè w1, w2, w3, ... ,
ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê âðàùåíèþ âîêðóã îäíîé îñè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ
                                    w = w1 + w2 + w3 + ...         (1.35)
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå îñè âðàùåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
       Äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà. Ñâîáîäíîå òâåðäîå òåëî ìîæåò
ñîâåðøàòü ëþáûå ïåðåìåùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìû XYZ. Â
ýòîì, ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, îíî èìååò 6 ñòåïåíåé ñâîáîäû.
       Îïèðàÿñü íà òåîðåìó Ýéëåðà (ñì. âûøå), äâèæåíèå ñâîáîäíîãî òâåð-
äîãî òåëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæå-
íèÿ, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè äâèæóòñÿ, êàê ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ïîëþñ
(íà÷àëî ñèñòåìû x0y0z0), è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòîò ïîëþñ. Ýòîìó ðàññìîòðåíèþ ñîîòâåòñòâóþò 6 íåçàâè-
ñèìûõ êîîðäèíàò: 3 äåêàðòîâû êîîðäèíàòû X, Y, Z òî÷êè, ïðèíÿòîé çà ïî-
ëþñ, è 3 óãëà Ýéëåðà ϕ, ψ, θ (ñì. ðèñ. 1.3).
       Ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè À òåëà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ
îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì rA:

Страницы