Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
Ëåêöèÿ 1
rrr
AO
=+
′
A
, (1.36)
ãäå
r
O
 ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè Î, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ,
′
r
A
 ðàäèóñ-âåêòîð
òî÷êè À îòíîñèòåëüíî ïîëþñà.
Ñêîðîñòü òî÷êè À
vv r
AA
=+
′
O
w×
, (1.37)
ãäå
v
O
 ñêîðîñòü ïîëþñà, à w ×
′
r
A
 ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâè-
æåíèÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ.
Óñêîðåíèå òî÷êè À
aa r
r
AO A
A
=+ ′+
′
d
dt
d
dt
w
w××
. (1.38)
Çäåñü
a
O
 óñêîðåíèå ïîëþñà,
d
dt
w
×′r
A
 óñêîðåíèå, îáóñëîâëåííîå èçìå-
íåíèåì âåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè w ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëå-
íèþ,
w ×
d
dt
′
r
A
 öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå (ñì. ôîðìóëó (1.26)).
Çàìå÷àíèå 1. Ïðèíèìàÿ çà ïîëþñ ðàçëè÷íûå òî÷êè ñâîáîäíîãî òâåð-
äîãî òåëà (èëè äàæå òî÷êè âíå åãî), ìîæíî ïîëó÷èòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæå-
ñòâî ðàçëîæåíèé åãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå. Ïðè ýòîì,
êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîãî äâèæåíèÿ, êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïåðå-
íîñíîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
v a
OO
,
áóäóò çàâèñåòü îò âûáîðà ïîëþñà.
Êèíåìàòè÷åñêèå æå õàðàêòåðèñòèêè îòíîñèòåëüíîãî âðàùàòåëüíîãî äâèæå-
íèÿ
w
w
,
d
dt
îò âûáîðà ïîëþñà íà çàâèñÿò.
Çàìå÷àíèå 2. Ïðîèçâîëüíîå (íåïëîñêîå) äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà íå-
âîçìîæíî ñâåñòè ê ÷èñòîìó âðàùåíèþ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè. Îäíàêî, ìîæ-
íî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ìãíîâåííàÿ îñü òàê íàçûâàåìîãî
âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè âðàùà-
òåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã íåêîòîðîé îñè è ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ
âäîëü ýòîé æå ñàìîé îñè. Åñòåñòâåííî, â îáùåì ñëó÷àå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è îòíî-
ñèòåëüíî òåëà èçìåíÿåòñÿ.
Ëåêöèÿ 1                                                               19

                                         rA = rO + rA′ ,             (1.36)
ãäå rO – ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè Î, ïðèíÿòîé çà ïîëþñ, rA′ — ðàäèóñ-âåêòîð
òî÷êè À îòíîñèòåëüíî ïîëþñà.
       Ñêîðîñòü òî÷êè À
                                  v A = v O + w × r A′ ,             (1.37)
ãäå vO – ñêîðîñòü ïîëþñà, à w × rA′ – ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùàòåëüíîãî äâè-
æåíèÿ âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïîëþñ.
       Óñêîðåíèå òî÷êè À
                                         dw             dr ′
                            a A = aO +      × r A′ + w × A .         (1.38)
                                         dt              dt
                             dw
Çäåñü a O – óñêîðåíèå ïîëþñà,   × r A′ — óñêîðåíèå, îáóñëîâëåííîå èçìå-
                             dt
íåíèåì âåêòîðà ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè w ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëå-
          dr A′
íèþ, w ×        – öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå (ñì. ôîðìóëó (1.26)).
           dt
       Çàìå÷àíèå 1. Ïðèíèìàÿ çà ïîëþñ ðàçëè÷íûå òî÷êè ñâîáîäíîãî òâåð-
äîãî òåëà (èëè äàæå òî÷êè âíå åãî), ìîæíî ïîëó÷èòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæå-
ñòâî ðàçëîæåíèé åãî äâèæåíèÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå. Ïðè ýòîì,
êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîãî äâèæåíèÿ, êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïåðå-
íîñíîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ v O , a O áóäóò çàâèñåòü îò âûáîðà ïîëþñà.
Êèíåìàòè÷åñêèå æå õàðàêòåðèñòèêè îòíîñèòåëüíîãî âðàùàòåëüíîãî äâèæå-
        dw
íèÿ w,      îò âûáîðà ïîëþñà íà çàâèñÿò.
        dt
       Çàìå÷àíèå 2. Ïðîèçâîëüíîå (íåïëîñêîå) äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà íå-
âîçìîæíî ñâåñòè ê ÷èñòîìó âðàùåíèþ âîêðóã ìãíîâåííîé îñè. Îäíàêî, ìîæ-
íî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ìãíîâåííàÿ îñü òàê íàçûâàåìîãî
âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè âðàùà-
òåëüíîãî äâèæåíèÿ âîêðóã íåêîòîðîé îñè è ïîñòóïàòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ
âäîëü ýòîé æå ñàìîé îñè. Åñòåñòâåííî, â îáùåì ñëó÷àå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
ïîëîæåíèå ìãíîâåííîé îñè âèíòîâîãî ïåðåìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è îòíî-
ñèòåëüíî òåëà èçìåíÿåòñÿ.

Страницы