Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

23
Ëåêöèÿ 2
{}
Lrv rr
rr rr rr
== =
=−
=−
∑∑
∑∑
∆∆
∆∆
mm
mmr
i
i
i
i
i
i
b
i
i
i
a
b
c
ac c a
b
ii i i
ii ii ii
×××
()
() () ()
w
wwww
2
.
(.)23
Âåêòîðû
r
i
,
w
è L ìîæíî ïðîåêòèðîâàòü êàê íà îñè ëàáîðàòîðíîé
ñèñòåìû XYZ, òàê è íà îñè ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì
(ïîñêîëüêó òî÷êà Î íåïîäâèæíà, íà÷àëà îáåèõ ñèñòåì ìîæíî ñîâìåñòèòü).
Ïðåèìóùåñòâî ñèñòåìû xyz çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåé ïðîåêöèè
r
i
ÿâëÿ-
þòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè (â ñèñòåìå XYZ îíè çàâèñÿò îò âðåìåíè), è
âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò L îêàçûâàþòñÿ ïðîùå.
Èòàê, â ñèñòåìå xyz
{}
r
i
=
xyz
iii
,, ,
{}
w
=ωωω
xyz
,, .
(2.4)
Òîãäà, ïðîäîëæàÿ (2.3), ìîæíî çàïèñàòü:
{}
Lr=−++
∑
∆mr x y z
i
i
iixiyiz
w
2
i
()ωωω
. (2.5)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñè ñèñòåìû xyz çàïèøåì â
ñëåäóþùåì âèäå:
()
()()
Lmrx mxy mxz
xiii
i
xiii
i
yiii
i
z
= − +− +−
∑∑∑
∆∆∆
22
ωωω
; (2.6)
()
()
()
Lmyx mry myz
yiii
i
xiii
i
yiii
i
z
=− + − +−
∑∑ ∑
∆∆ ∆ωωω
22
; (2.7)
()()
()
Lmzx mzy mrz
ziii
i
xiii
i
yiii
i
z
=− +− + −
∑∑∑
∆∆∆ωω ω
22
, (2.8)
èëè
LJ J J
xxxxxyyxzz
=++ωωω
; (2.9)
LJ J J
yyxxyyyyzz
=++ωωω
; (2.10)
LJ J J
zzxxzyyzzz
=++ωωω
, (2.11)
ãäå
J
k
l
 9 êîìïîíåíò òàê íàçûâàåìîãî òåíçîðà èíåðöèè
$
J
òâåðäîãî òåëà
îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î:
$
J
JJJ
JJJ
JJJ
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
=
.
Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû òåíçîðà
J
xx
,, J J
yy zz
íàçûâàþòñÿ îñåâûìè ìîìåí-
òàìè èíåðöèè, íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû
J
xy yx xz zx yz zy
,,,,, J J J J J
íàçû-
bb
b
(2.12)
Ëåêöèÿ 2                                                                                                                            23

        L=       ∑ ∆m i r i       × vi =    ∑ ∆m i r i × ( w × r i ) =
                     i                       i                  a       b          c
                                                         
        =   ∑ ∆m i wb (ri ri ) − ri (ri wb ) = ∑ ∆m i {w ri2                                           }
                                                                                                − ri ( ri w) .
             i           b a c             c a b                  i
                                                                                                                                  (2.3)
       Âåêòîðû ri , w è L ìîæíî ïðîåêòèðîâàòü êàê íà îñè ëàáîðàòîðíîé
ñèñòåìû XYZ, òàê è íà îñè ñèñòåìû xyz, æåñòêî ñâÿçàííîé ñ òâåðäûì òåëîì
(ïîñêîëüêó òî÷êà Î íåïîäâèæíà, íà÷àëà îáåèõ ñèñòåì ìîæíî ñîâìåñòèòü).
Ïðåèìóùåñòâî ñèñòåìû xyz çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â íåé ïðîåêöèè ri ÿâëÿ-
þòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè (â ñèñòåìå XYZ îíè çàâèñÿò îò âðåìåíè), è
âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò L îêàçûâàþòñÿ ïðîùå.
      Èòàê, â ñèñòåìå xyz
                                            ri = {x i , y i , z i },                        {
                                                                                       w = ω x ,ω y ,ω z .     }                   (2.4)
Òîãäà, ïðîäîëæàÿ (2.3), ìîæíî çàïèñàòü:
                                     L =    ∑ ∆m i {wri2 − ri (x i ω x + y i ω y                          + z iω z ) }.            (2.5)
                                             i
Âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé ìîìåíòà èìïóëüñà íà îñè ñèñòåìû xyz çàïèøåì â
ñëåäóþùåì âèäå:
      Lx =   ∑ ∆m i (ri2                )
                                  − x 2i ω x +      ∑ (− ∆m i x i y i ) ω y + ∑ (− ∆m i x i z i ) ω z ;                            (2.6)
                 i                                     i                                              i


      Ly =   ∑ (− ∆m i y i x i ) ω x + ∑ ∆m i (ri2                                      )
                                                                             − y 2i ω y +          ∑ ( − ∆m i y i z i ) ω z ;      (2.7)
                 i                                 i                                                  i


      Lz =   ∑ (− ∆m i z i x i ) ω x + ∑ (− ∆m i z i y i ) ω y + ∑ ∆m i (ri2                                              )
                                                                                                                   − z 2i ω z ,    (2.8)
                 i                                 i                                              i


èëè
                              L x = J xx ω x + J xy ω y + J xz; ω z                                                               (2.9)
                              L y = J yx ω x + J yy ω y + J yz ω z;                                                               (2.10)
                              L z = J zx ω x + J zy ω y + J zz ω z ,                                                              (2.11)

ãäå J kl – 9 êîìïîíåíò òàê íàçûâàåìîãî òåíçîðà èíåðöèè                                                             J$ òâåðäîãî òåëà
îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î:

                                                       J xx                J xy        J xz 
                                                                                            
                                                 J$ =  J yx                J yy        J yz                                     (2.12)
                                                                                            .
                                                       J zx                J zy        J zz 

Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû òåíçîðà                               J xx , J yy , J zz íàçûâàþòñÿ îñåâûìè ìîìåí-
òàìè èíåðöèè, íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû                                                  J xy , J yx , J xz , J zx , J yz , J zy íàçû-

Страницы