Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Ìåõàíèêà
ïåäà (ðèñ. 2.8)
Jmxy
xy i
i
ii
=− =
∑
∆ 0,
òàê êàê äëÿ âñÿêîé ìàññû
∆m
i
ñ
äàííûìè çíà÷åíèÿìè
x
i
,, y z
ii
íàéäåòñÿ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííàÿ ìàñ-
ñà
∆
′m
i
ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè x
i
è z
i
, íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíà÷åíèåì y
i
.
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì ïðèìåð íàõîæäåíèÿ ãëàâíûõ
îñåé èíåðöèè äëÿ ïëîñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè ñî ñòîðîíàìè a è b,
ìàññà êîòîðîé m (ðèñ. 2.11).
ßñíî, ÷òî îäíà èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè äëÿ òî÷êè Î (îñü Oz) ïåð-
ïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè; íà ðèñ. 2.11 îíà
íå ïîêàçàíà. Îñè Ox è Oy, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòî-
ðîí ïëàñòèíêè, íå ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè. Äåéñòâè-
òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå
Jydm
m
ab
dx y dy m
b
xx
ba
== =
∫∫∫
22
00
2
3
;
(2.18)
Jxdm
m
ab
dy x dx m
a
yy
ab
== =
∫∫∫
22
00
2
3
;
(2.19)
z
y
O
x
z
m'
i
∆
m'
i
∆
y
O
x
z
y
O
x
z
y
O
x
Ðèñ. 2.7
Ðèñ. 2.10
Ðèñ. 2.9
Ðèñ. 2.8
y
b
y'
O
x
x'
a
α
Ðèñ. 2.11
26                                                                           Ìåõàíèêà

ïåäà (ðèñ. 2.8)        J xy = − ∑ ∆m i x i y i = 0, òàê êàê äëÿ âñÿêîé ìàññû ∆m i ñ
                                   i

äàííûìè çíà÷åíèÿìè             x i , y i , z i íàéäåòñÿ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííàÿ ìàñ-
ñà   ∆m ′i ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè xi è zi , íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíà÷åíèåì yi.

                       z                                             z
                                                           ∆m'i           ∆ m'i

                       O                y                            O                    y


 x                                                x
              Ðèñ. 2.7                                                     Ðèñ. 2.8

                               z                                 z



                                                                 O             y
         O
x                                                  x
                   y
              Ðèñ. 2.9                                                     Ðèñ. 2.10

        çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ðàññìîòðèì ïðèìåð íàõîæäåíèÿ ãëàâíûõ
îñåé èíåðöèè äëÿ ïëîñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè ñî ñòîðîíàìè a è b,
ìàññà êîòîðîé m (ðèñ. 2.11).
       ßñíî, ÷òî îäíà èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè äëÿ òî÷êè Î (îñü Oz) ïåð-
                          ïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïëàñòèíêè; íà ðèñ. 2.11 îíà
 y         y'             íå ïîêàçàíà. Îñè Ox è Oy, íàïðàâëåííûå âäîëü ñòî-
                          ðîí ïëàñòèíêè, íå ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè. Äåéñòâè-
                          òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå
     α                                                   m
                                                             a       b
                                                                         b2
                                              = ∫ y dm =
                                                         ab ∫0 ∫0
                     b                 J xx        2
                                                              dx y dy = m ;
                                                                  2
                                                                                       (2.18)
                                                                         3
          a                x                             m
                                                             b       a
                                                                             a2
                                              = ∫ x dm =
                                                         ab ∫0 ∫0
O                                      J yy        2
                                                              dy  x 2
                                                                      dx = m    ;      (2.19)
                     x'                                                      3

         Ðèñ. 2.11

Страницы