Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Ìåõàíèêà
òî åñòü αα<
0
. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè
Oy′
íå ïðîõîäèò ÷åðåç
öåíòð ïëàñòèíêè. È òîëüêî â ñëó÷àå êâàäðàòà, êîãäà
ab=, =
4
α
π
, ãëàâíàÿ îñü
èíåðöèè
Oy′
áóäåò íàïðàâëåíà ïî äèàãîíàëè êâàäðàòà. Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî
ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ãëàâíûå îñè èíåðöèè  íåöåíòðàëüíûå, òî íè îäíà èç
íèõ â ïðèíöèïå ìîæåò è íå ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.
Ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîìåíò èíåðöèè îò-
íîñèòåëüíî îñè.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæ-
íîé îñè, îáû÷íî îïåðèðóþò ñ ïîíÿòèÿìè ìîìåíòà èìïóëüñà è ìîìåíòà èíåð-
öèè îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîìåíò èìïóëüñà
L
îò-
íîñèòåëüíî îñè  ýòî ïðîåêöèÿ íà äàííóþ îñü
ìîìåíòà èìïóëüñà L, îïðåäåëåííîãî îòíîñèòåëü-
íî íåêîòîðîé òî÷êè Î, ïðèíàäëåæàùåé îñè, ïðè-
÷åì, êàê îêàçûâàåòñÿ, âûáîð òî÷êè Î íà îñè çíà-
÷åíèÿ íå èìååò.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè
L
ñó-
ùåñòâåííî ëèøü ïëå÷î èìïóëüñà ∆pv
ii
=∆m
i
îò-
íîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ
′′′
OO
(ðèñ. 2.12), òî
åñòü êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå
ρ
i
ìàññû
∆
m
i
äî îñè:
()
Lm mvm
ii iiiii
===∆∆∆
() ()rv
ii
×ρρω
2
. (2.31)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ñêîðîñòü ìàññû
∆
m
i
ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè
v
iii
=ωρ ⊥; v r
i .
Ðàññìîòðèì ýòó ñèòóàöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà
ðèñ. 2.12  ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè
O, O O
′′′  íåïîäâèæíàÿ â ëàáî-
ðàòîðíîé ñèñòåìå îñü âðàùåíèÿ, æåñòêî ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì. Âåêòîð óãëîâîé
ñêîðîñòè w, íàïðàâëåííûé âäîëü
′′′
OO
, ìîæíî ðàçëîæèòü ïî îñÿì ñèñòåìû
êîîðäèíàò xyz:
{}
{}
w
=ωωω ω αω βω γ
xyz
,, cos, , cos , cos
=
(2.32)
ãäå
cos ,αβγ cos , cos
 íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû îñè
′′′
OO
. Âåêòîð L íå
ñîâïàäàåò ñ w è ïðè âðàùåíèè òåëà îïèñûâàåò êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü,
ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî
′′′
OO
. Âåêòîð L òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî
îñÿì ñèñòåìû xyz:
{}
L
=
L
x
,, L L
yz
, ïðè÷åì
LJ J LJ
xxx yyy zzz
== =ωωω;; L ,
(2.33)
ãäå
J
x
,, J J
yz
 ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè.
Ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìîìåíò
èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè
O
O''
O'
z
L
y
i
i
i
i
∆
m
r
v
x
Ðèñ. 2.12
28                                                                                              Ìåõàíèêà

òî åñòü α < α 0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè                        Oy′ íå ïðîõîäèò ÷åðåç
                                                                                              π
öåíòð ïëàñòèíêè. È òîëüêî â ñëó÷àå êâàäðàòà, êîãäà a = b, α =                                   , ãëàâíàÿ îñü
                                                                                              4
èíåðöèè Oy′ áóäåò íàïðàâëåíà ïî äèàãîíàëè êâàäðàòà. Ýòîò ïðèìåð íàãëÿäíî
ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ãëàâíûå îñè èíåðöèè – íåöåíòðàëüíûå, òî íè îäíà èç
íèõ â ïðèíöèïå ìîæåò è íå ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.
       Ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîìåíò èíåðöèè îò-
íîñèòåëüíî îñè.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæ-
íîé îñè, îáû÷íî îïåðèðóþò ñ ïîíÿòèÿìè ìîìåíòà èìïóëüñà è ìîìåíòà èíåð-
                                            öèè îòíîñèòåëüíî îñè. Ìîìåíò èìïóëüñà                    L     îò-
            z                     O''       íîñèòåëüíî îñè – ýòî ïðîåêöèÿ íà äàííóþ îñü
                                            ìîìåíòà èìïóëüñà L, îïðåäåëåííîãî îòíîñèòåëü-
                                    L       íî íåêîòîðîé òî÷êè Î, ïðèíàäëåæàùåé îñè, ïðè-
                                            ÷åì, êàê îêàçûâàåòñÿ, âûáîð òî÷êè Î íà îñè çíà-
                                            ÷åíèÿ íå èìååò.
         O
                                    y               Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âû÷èñëåíèè                    L     ñó-
                    ri
x               i
                              vi            ùåñòâåííî ëèøü ïëå÷î èìïóëüñà ∆p i = ∆m i v i îò-
       O'            ∆m i
                                            íîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ    O ′O ′′ (ðèñ. 2.12), òî
            Ðèñ. 2.12
                                            åñòü êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ρ i ìàññû ∆m i äî îñè:

                         (L i )     = ∆m i ( ri × v i )   = ∆m i ρ i v i = ( ∆m i ρ 2i )ω .              (2.31)

         Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ñêîðîñòü ìàññû                     ∆m i ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè
v i = ωρi ; v i ⊥ ri .
        Ðàññìîòðèì ýòó ñèòóàöèþ áîëåå ïîäðîáíî. Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà
ðèñ. 2.12 – ãëàâíûå îñè èíåðöèè äëÿ òî÷êè O, O ′ O ′′ – íåïîäâèæíàÿ â ëàáî-
ðàòîðíîé ñèñòåìå îñü âðàùåíèÿ, æåñòêî ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì. Âåêòîð óãëîâîé
ñêîðîñòè w, íàïðàâëåííûé âäîëü                    O ′ O ′′ , ìîæíî ðàçëîæèòü ïî îñÿì ñèñòåìû
êîîðäèíàò xyz:

                                        {             }
                                  w = ω x , ω y , ω z = {ω cos α, ω cosβ, ω cosγ },                      (2.32)

ãäå cos α, cosβ, cosγ – íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû îñè O ′ O ′′ . Âåêòîð L íå
ñîâïàäàåò ñ w è ïðè âðàùåíèè òåëà îïèñûâàåò êîíè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü,
ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî                     O ′ O ′′ . Âåêòîð L òàêæå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî
îñÿì ñèñòåìû xyz:                   {                 }
                            L = L x , L y , L z , ïðè÷åì
                            L x = Jxω x ;          L y = Jy ω y ;       L z = Jzω z ,                    (2.33)

ãäå   J x , J y , J z – ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè.
      Ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìîìåíò
èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè

Страницы