Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

29
Ëåêöèÿ 2
()
L
LLL JJJ
JJJ J
xx yy zz xx yy zz
xyz
==
++
=
++
⋅=
=++ =
Lw
ω
ωωω
ω
ωωω
ω
ω
αβγωω
222
2
222
cos cos cos ,
(2.34)
ãäå
JJ J J
xyz
=++cos cos cos
222
αβγ
(2.35)
 ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî
òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè â òîì ñëó÷àå, åñëè èçâåñòíû ãëàâíûå
ìîìåíòû èíåðöèè
J
x
,, J J
yz
è îðèåíòàöèÿ îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ãëàâ-
íûõ îñåé èíåðöèè (óãëû
αβγ
, ,
). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òàêîå âû÷èñëåíèå îêà-
çûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì ïðÿìîé ðàñ÷åò ïî ôîðìóëå
Jm
i
i
i
=
∑
∆ρ
2
(2.36)
(ñì. (2.31)).
Îòìåòèì, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì âûøå îïðåäåëåíèåì,
L
 âå-
ëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ (ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ). Âìåñòå ñ òåì ìîæíî
ãîâîðèòü è î âåêòîðå
L
, ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà L âäîëü
îñè:
Lp=
∑
r
ii
i
×∆
(2.37)
(âåêòîð
r
i
èçîáðàæåí íà ðèñ. 2.12, ∆pv
ii
=∆
m
i
).  ðåêîìåíäóåìûõ ó÷åáíûõ
ïîñîáèÿõ ìîæíî âñòðåòèòü îáå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñè-
òåëüíî îñè.
Ýëëèïñîèä èíåðöèè. Ôîðìóëà (2.35) äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñè-
òåëüíî îñè äîïóñêàåò íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
Ïðåäñòàâèì, ÷òî ÷åðåç òî÷êó Î íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz ìû
ïðîâîäèì ïðÿìûå âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ è íà íèõ îòêëàäûâàåì îò-
ðåçêè äëèíîé
R
k
J
=
(ðèñ. 2.13), ãäå k åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ
ðàçìåðíîñòü êã
1/2
· ì
2
. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì êîíöîâ ýòèõ îòðåçêîâ áóäåò
íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè.
Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà ðèñ. 2.13  ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Ïðîåêöèè
âåêòîðà R íà îñè êîîðäèíàò ñîñòàâëÿþò
RxR
k
J
x
≡= =cos cos ,αα
(2.38)
RyR
k
J
y
≡= =cos cos ,ββ
(2.39)
Ëåêöèÿ 2                                                                                     29

                    Lw L x ω x + L y ω y + L z ω z   J x ω 2x + J y ω 2y + J z ω z2
            L   =     =                            =                                ⋅ω =
                    ω              ω                             ω2
                                                                                           (2.34)
                    (                                         )
                = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ ω = Jω,

ãäå
                              J = J x cos 2 α + J y cos 2 β + J z cos 2 γ                  (2.35)
— ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè.
       Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî
òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè â òîì ñëó÷àå, åñëè èçâåñòíû ãëàâíûå
ìîìåíòû èíåðöèè         J x , J y , J z è îðèåíòàöèÿ îñè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ãëàâ-
íûõ îñåé èíåðöèè (óãëû α, β, γ ). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òàêîå âû÷èñëåíèå îêà-
çûâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ÷åì ïðÿìîé ðàñ÷åò ïî ôîðìóëå

                                                 J = ∑ ∆m i ρ 2i                           (2.36)
                                                          i
(ñì. (2.31)).
        Îòìåòèì, ÷òî, â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì âûøå îïðåäåëåíèåì,                      L    – âå-

ëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ (ïðîåêöèÿ âåêòîðà L íà îñü âðàùåíèÿ). Âìåñòå ñ òåì ìîæíî
ãîâîðèòü è î âåêòîðå      L , ðàññìàòðèâàÿ åãî êàê ñîñòàâëÿþùóþ âåêòîðà L âäîëü
îñè:
                                             L    =   ∑ ri    × ∆p i
                                                                                           (2.37)
                                                      i

(âåêòîð ri èçîáðàæåí íà ðèñ. 2.12, ∆p i = ∆m i v i ).  ðåêîìåíäóåìûõ ó÷åáíûõ
ïîñîáèÿõ ìîæíî âñòðåòèòü îáå òðàêòîâêè ïîíÿòèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñè-
òåëüíî îñè.
       Ýëëèïñîèä èíåðöèè. Ôîðìóëà (2.35) äëÿ ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñè-
òåëüíî îñè äîïóñêàåò íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
       Ïðåäñòàâèì, ÷òî ÷åðåç òî÷êó Î íà÷àëà êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz ìû
ïðîâîäèì ïðÿìûå âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ è íà íèõ îòêëàäûâàåì îò-
                         k
ðåçêè äëèíîé    R=             (ðèñ. 2.13), ãäå k åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ
                          J
ðàçìåðíîñòü êã 1/2 · ì2. Ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì êîíöîâ ýòèõ îòðåçêîâ áóäåò
íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü. Ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýòîé ïîâåðõíîñòè.
       Ïóñòü îñè Ox, Oy, Oz íà ðèñ. 2.13 – ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Ïðîåêöèè
âåêòîðà R íà îñè êîîðäèíàò ñîñòàâëÿþò
                                                                  k
                                   R x ≡ x = R cos α =                 cos α,              (2.38)
                                                                  J
                                                                  k
                                    R y ≡ y = R cos β =               cos β,               (2.39)
                                                                  J

Страницы