Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Ìåõàíèêà
RzR
k
J
z
≡= =cos cos ,γγ
(2.40)
îòêóäà
cos ;α=
xJ
k
cos ;β=
yJ
k
cos .γ=
zJ
k
(2.41)
Ïîäñòàâëÿÿ (2.41) â (2.35), ïîëó÷èì
JJ
xJ
k
J
yJ
k
J
zJ
k
xyz
=++
2
2
2
2
2
2
, (2.42)
èëè
Jx Jy Jz k
xyz
⋅+⋅+⋅=
2222
.
(2.43)
Ýòî, êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå íàçûâà-
þò ýëëèïñîèäîì èíåðöèè.
Öåíòð ýëëèïñîèäà èíåðöèè, êàê âèäíî èç åãî óðàâíåíèÿ, íàõîäèòñÿ â
íà÷àëå êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz (òî÷êå Î). Ïîñòîÿííàÿ k ìîæåò áûòü âûáðàíà
ïðîèçâîëüíî è îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ïîñòðîåíèÿ; èçìåíÿÿ k, ìû áóäåì ïîëó-
÷àòü ïîäîáíûå ýëëèïñîèäû. Ãëàâíûå îñè ýëëèïñîèäà èíåðöèè ÿâëÿþòñÿ ãëàâ-
íûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà äëÿ òî÷êè Î.
Ýëëèïñîèä èíåðöèè æåñòêî ñâÿçàí ñ òåëîì, à åãî ïîëîæåíèå îòíîñè-
òåëüíî òåëà çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè Î. Ýëëèïñîèä èíåðöèè, ïîñòðîåííûé
äëÿ öåíòðà ìàññ òåëà, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì. Åñëè èçâåñòíî ïîëîæåíèå
ýëëèïñîèäà èíåðöèè, èçâåñòíî è ïîëîæåíèå âñåãî òåëà â äàííûé ìîìåíò
âðåìåíè. Ðàññìàòðèâàÿ âðàùàòåëüíîå
äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, â ðÿäå ñëó÷à-
åâ ìîæíî àáñòðàãèðîâàòüñÿ îò åãî ôîð-
ìû è èìåòü äåëî ñ ýëëèïñîèäîì èíåð-
öèè. Äëÿ êóáà è øàðà, íàïðèìåð, öåí-
òðàëüíûå ýëëèïñîèäû èíåðöèè âûðîæ-
äàþòñÿ â ñôåðó, ïîýòîìó ýòè òåëà ñ
òî÷êè çðåíèÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè
îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì
ñïëîøíîé îäíîðîäíûé êóá ñ ðåáðîì a
è ìàññîé m. Ýëëèïñîèä èíåðöèè äëÿ
öåíòðà îäíîé èç ãðàíåé êóáà (òî÷êà
Î) ïîêàçàí íà ðèñ. 2.14. Ïîëóîñè OA,
OB, OÑ ëåæàò íà ãëàâíûõ îñÿõ èíåð-
öèè äëÿ òî÷êè Î, ïðè÷åì ÎÀ = ÎB
ëåæàò â ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè, à
OC ≈ 1,6 OA  ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé
áîêîâîé ãðàíè. Äëÿ ñðàâíåíèÿ: ýëëèï-
ñîèä èíåðöèè äëÿ öåíòðà êóáà âûðîæ-
äàåòñÿ â ñôåðó ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÑ.
Ïîíÿòèå ýëëèïñîèäà èíåðöèè
ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî ïðî-
ñòîãî ãðàôè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ óñòà-
Ðèñ. 2.13
z
R
y
O
x
α
γ
β
k/
J
30                                                                      Ìåõàíèêà

                                                        k
                            R z ≡ z = R cos γ =              cos γ ,        (2.40)
                                                         J
îòêóäà
                   x J               y J                        z J
            cos α =    ;     cos β =     ;           cos γ =        .       (2.41)
                    k                 k                          k
Ïîäñòàâëÿÿ (2.41) â (2.35), ïîëó÷èì

                                  x2 J   y2 J   z2 J
                            J = Jx 2 + Jy 2 + Jz 2 ,                        (2.42)
                                  k      k      k
èëè
                            J x ⋅ x2 + J y ⋅ y 2 + J z ⋅ z2 = k 2 .         (2.43)
Ýòî, êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå íàçûâà-
þò ýëëèïñîèäîì èíåðöèè.
       Öåíòð ýëëèïñîèäà èíåðöèè, êàê âèäíî èç åãî óðàâíåíèÿ, íàõîäèòñÿ â
íà÷àëå êîîðäèíàò ñèñòåìû xyz (òî÷êå Î). Ïîñòîÿííàÿ k ìîæåò áûòü âûáðàíà
ïðîèçâîëüíî è îïðåäåëÿåò ìàñøòàá ïîñòðîåíèÿ; èçìåíÿÿ k, ìû áóäåì ïîëó-
÷àòü ïîäîáíûå ýëëèïñîèäû. Ãëàâíûå îñè ýëëèïñîèäà èíåðöèè ÿâëÿþòñÿ ãëàâ-
íûìè îñÿìè èíåðöèè òåëà äëÿ òî÷êè Î.
       Ýëëèïñîèä èíåðöèè æåñòêî ñâÿçàí ñ òåëîì, à åãî ïîëîæåíèå îòíîñè-
òåëüíî òåëà çàâèñèò îò âûáîðà òî÷êè Î. Ýëëèïñîèä èíåðöèè, ïîñòðîåííûé
äëÿ öåíòðà ìàññ òåëà, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì. Åñëè èçâåñòíî ïîëîæåíèå
ýëëèïñîèäà èíåðöèè, èçâåñòíî è ïîëîæåíèå âñåãî òåëà â äàííûé ìîìåíò
                                     âðåìåíè. Ðàññìàòðèâàÿ âðàùàòåëüíîå
                                     äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà, â ðÿäå ñëó÷à-
              z                      åâ ìîæíî àáñòðàãèðîâàòüñÿ îò åãî ôîð-
                                     ìû è èìåòü äåëî ñ ýëëèïñîèäîì èíåð-
                                     öèè. Äëÿ êóáà è øàðà, íàïðèìåð, öåí-
                             R       òðàëüíûå ýëëèïñîèäû èíåðöèè âûðîæ-
                                     äàþòñÿ â ñôåðó, ïîýòîìó ýòè òåëà ñ
                                     òî÷êè çðåíèÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè
                      γ              îêàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.
                          k/ J               Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì
                                     ñïëîøíîé îäíîðîäíûé êóá ñ ðåáðîì a
          α               β    y     è ìàññîé m. Ýëëèïñîèä èíåðöèè äëÿ
                                     öåíòðà îäíîé èç ãðàíåé êóáà (òî÷êà
                  O                  Î) ïîêàçàí íà ðèñ. 2.14. Ïîëóîñè OA,
                                     OB, OÑ ëåæàò íà ãëàâíûõ îñÿõ èíåð-
x                                    öèè äëÿ òî÷êè Î, ïðè÷åì ÎÀ = ÎB
                                     ëåæàò â ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè, à
                                     OC ≈ 1,6 OA – ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé
                                     áîêîâîé ãðàíè. Äëÿ ñðàâíåíèÿ: ýëëèï-
                                     ñîèä èíåðöèè äëÿ öåíòðà êóáà âûðîæ-
                                     äàåòñÿ â ñôåðó ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ÎÑ.
                                             Ïîíÿòèå ýëëèïñîèäà èíåðöèè
                                     ïîçâîëÿåò ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî ïðî-
             Ðèñ. 2.13               ñòîãî ãðàôè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ óñòà-

Страницы