Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
Ëåêöèÿ 2
íîâèòü ñâÿçü ìåæäó óã-
ëîâîé ñêîðîñòüþ w è
ìîìåíòîì èìïóëüñà L
îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î,
ïðèíàäëåæàùåé îñè
âðàùåíèÿ. Ðå÷ü èäåò î
òàê íàçûâàåìîì ïîñò-
ðîåíèè Ïóàíñî, êîòî-
ðîå ìû ïðèâîäèì áåç
äîêàçàòåëüñòâà: íåîáõî-
äèìî ïîñòðîèòü ýëëèï-
ñîèä èíåðöèè ñ öåíò-
ðîì â òî÷êå Î è â òî÷-
êå åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ
îñüþ âðàùåíèÿ (âåêòî-
ðîì óãëîâîé ñêîðîñòè
w) ïðîâåñòè ïëîñ-
êîñòü, êàñàòåëüíóþ ê
ýëëèïñîèäó. Ïåðïåíäè-
êóëÿð, îïóùåííûé èç öåíòðà ýëëèïñîèäà èíåðöèè íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü,
è äàñò íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà L. Ïðèìåð ïîäîáíîãî ïîñòðî-
åíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2.14.
Âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ìî-
ìåíòà èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà
Jdm=⋅
∫
ρ
2
, (2.44)
ãäå
ρ
 ðàññòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ìàññû dm äî îñè âðàùåíèÿ. Ïðè ýòîì,
åñòåñòâåííî, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñèììåòðèþ ñèñòåìû.
Âû÷èñëèì, ê ïðèìåðó, ìîìåíò èíåðöèè øàðà (â ñôåðè÷åñêèõ êîîð-
äèíàòàõ
r, ,
θϕ
, ðèñ. 2.15) îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç åãî öåíòð (â äàííîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî îñè Oz):
dm
m
V
dV
m
V
rdrdd=⋅ = ⋅⋅⋅
2
sin ;θθϕ
(2.45)
m - ìàññà øàðà, V  åãî îáúåì.
ρθ=
r sin ,
(2.46)
ïîýòîìó
dJ dm
m
V
rdrdd=⋅ = ⋅⋅⋅ρθθϕ
243
sin ;
(2.47)
J
m
V
rdr d d
m
V
R
mR
R
=⋅=⋅⋅⋅=
∫∫∫
4
00
2
3
0
5
2
5
2
4
3
2
5
ϕθθ π
ππ
sin .
(2.48)
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íàøà Çåìëÿ  øàð ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ìàñ-
ñû, òî ìîìåíò èíåðöèè Çåìëè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè áóäåò ðàâåí
B
C
L
A
O
Ðèñ. 2.14
Ëåêöèÿ 2                                                                   31
íîâèòü ñâÿçü ìåæäó óã-
ëîâîé ñêîðîñòüþ w è
ìîìåíòîì èìïóëüñà L
îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î,
                                         B              L
ïðèíàäëåæàùåé îñè
âðàùåíèÿ. Ðå÷ü èäåò î
òàê íàçûâàåìîì ïîñò-
ðîåíèè Ïóàíñî, êîòî-
ðîå ìû ïðèâîäèì áåç
äîêàçàòåëüñòâà: íåîáõî-
                                       O                  C
äèìî ïîñòðîèòü ýëëèï-              A
ñîèä èíåðöèè ñ öåíò-
ðîì â òî÷êå Î è â òî÷-
êå åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ
îñüþ âðàùåíèÿ (âåêòî-
ðîì óãëîâîé ñêîðîñòè
w) ïðîâåñòè ïëîñ-
êîñòü, êàñàòåëüíóþ ê                          Ðèñ. 2.14
ýëëèïñîèäó. Ïåðïåíäè-
êóëÿð, îïóùåííûé èç öåíòðà ýëëèïñîèäà èíåðöèè íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü,
è äàñò íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà L. Ïðèìåð ïîäîáíîãî ïîñòðî-
åíèÿ ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2.14.
        Âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè. Ïðÿìîé ðàñ÷åò ìî-
ìåíòà èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà

                                            J = ∫ ρ 2 ⋅ dm,              (2.44)

ãäå ρ – ðàññòîÿíèå ýëåìåíòàðíîé ìàññû dm äî îñè âðàùåíèÿ. Ïðè ýòîì,
åñòåñòâåííî, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñèììåòðèþ ñèñòåìû.
       Âû÷èñëèì, ê ïðèìåðó, ìîìåíò èíåðöèè øàðà (â ñôåðè÷åñêèõ êîîð-
äèíàòàõ r, θ, ϕ , ðèñ. 2.15) îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç åãî öåíòð (â äàííîì ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî îñè Oz):
                                  m       m
                          dm =      ⋅ dV = r 2 sin θ ⋅ dr ⋅ d θ ⋅ d ϕ;   (2.45)
                                  V       V
m - ìàññà øàðà, V – åãî îáúåì.
                                           ρ = r sin θ,                  (2.46)
ïîýòîìó
                            m 4
          dJ = ρ 2 ⋅ dm =     r sin 3 θ ⋅ dr ⋅ d θ ⋅ d ϕ;                (2.47)
                            V
               R     2π     π
            m 4                             m R5       4 2
       J=    ∫
            V0
               r dr ∫
                    0
                      d ϕ ∫
                          0
                            sin 3
                                  θ ⋅ d θ =  ⋅
                                            V 5
                                                 ⋅ 2π ⋅ = mR 2 .
                                                       3 5               (2.48)

       Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íàøà Çåìëÿ – øàð ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ìàñ-
ñû, òî ìîìåíò èíåðöèè Çåìëè îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîé îñè áóäåò ðàâåí

Страницы