Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

33
Ëåêöèÿ 2
Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò, íàïðèìåð, ëåãêî âû÷èñëèòü ìîìåíò èíåðöèè
òîíêîãî äèñêà ìàññû m è ðàäèóñà R îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð äèñêà è ëåæàùåé â åãî ïëîñêîñòè (ëþ-
áàÿ òàêàÿ îñü áóäåò ãëàâíîé): J
mR
=
2
4
, ïî-
ñêîëüêó ìîìåíò èíåðöèè äèñêà îòíîñèòåëü-
íî ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîé ïëîñêîñòè äèñêà,
J
mR
0
2
2
=
, à
JJ
0
2
=
.
Òåîðåìà Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà. Ýòà òå-
îðåìà ñâÿçûâàåò ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñè-
òåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êî-
òîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.
Îñü 1 íà ðèñ. 2.18 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
ìàññ Î, îñü 2 ïàðàëëåëüíà åé; ðàññòîÿíèå ìåæ-
äó îñÿìè ðàâíî a. Âåêòîðû R
i
è r
i
ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñÿì 1 è 2. Îíè ïðîâåäåíû îò îñåé â
òó òî÷êó, ãäå ðàñïîëîæåíà ìàññà
∆
m
i
.
Ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè 2
()
Jm m mR ma m
i
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
== −= +−
∑∑ ∑∑ ∑
∆∆ ∆ ∆ ∆ρ
2
2
22
2Ra a R
ii
.
(2.51)
Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó îñü 1 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
ìàññ, è
JJ ma=+
0
2
.
(2.52)
Åñëè, íàïðèìåð, îñü  êàñàòåëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè øàðà, òî ìîæíî,
íå ïðîâîäÿ ãðîìîçäêèõ âû÷èñëåíèé, çàïèñàòü:
J J mR mR mR mR=+ = + =
0
2222
2
5
7
5
.
(2.53)
Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ. Äî ñèõ
ïîð, ðàññìàòðèâàÿ ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà, ìû îïðåäåëÿëè åãî îòíî-
ñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ òî÷êè (íà-
ïðèìåð, òî÷êè çàêðåïëåíèÿ òåëà). Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ äèíàìèêè ýòî îêàçûâà-
åòñÿ íåóäîáíî. Íàïðèìåð, ðåøàÿ çàäà÷ó î äèñêå, ñêàòûâàþùåìñÿ ñ íàêëîí-
íîé ïëîñêîñòè, ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü ìîìåíò èìïóëüñà äèñêà îòíîñèòåëüíî
åãî öåíòðà ìàññ, à íå îòíîñèòåëüíî òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé íàêëîííîé ïëîñ-
êîñòè.
Ðàññìîòðèì, êàê áóäóò ñâÿçàíû ìîìåíòû èìïóëüñà òåëà, îïðåäåëåí-
íûå îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè δ è îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ìàññ òåëà Î, äâèæóùåãîñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ðèñ. 2.19).
Ïóñòü
′
rr
i
è
i
 ðàäèóñû-âåêòîðû ýëåìåíòàðíîé ìàññû
∆
m
i
òåëà îò-
íîñèòåëüíî òî÷åê
′
O è O
, R  ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç
′
O â O
.
1
0
(J ) (J)2
∆
m
i
a
R
i
i
O
Ðèñ. 2.18
Ëåêöèÿ 2                                                                                          33
Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò, íàïðèìåð, ëåãêî âû÷èñëèòü ìîìåíò èíåðöèè
òîíêîãî äèñêà ìàññû m è ðàäèóñà R îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
öåíòð äèñêà è ëåæàùåé â åãî ïëîñêîñòè (ëþ-

                                            mR 2                         1 (J0)             2 (J)
áàÿ òàêàÿ îñü áóäåò ãëàâíîé):    J=              , ïî-
                                             4
ñêîëüêó ìîìåíò èíåðöèè äèñêà îòíîñèòåëü-
                                                                                  ∆m i
                                                                             Ri             i
íî ãëàâíîé öåíòðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêó-

                              mR 2                                                 a
ëÿðíîé ïëîñêîñòè äèñêà, J 0 =      , à
                               2
                                                                         O
J 0 = 2 J.
        Òåîðåìà Ãþéãåíñà-Øòåéíåðà. Ýòà òå-
îðåìà ñâÿçûâàåò ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñè-
òåëüíî äâóõ ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êî-
òîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.
        Îñü 1 íà ðèñ. 2.18 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
ìàññ Î, îñü 2 ïàðàëëåëüíà åé; ðàññòîÿíèå ìåæ-
äó îñÿìè ðàâíî a. Âåêòîðû Ri è ri ïåðïåíäè-
êóëÿðíû îñÿì 1 è 2. Îíè ïðîâåäåíû îò îñåé â                                  Ðèñ. 2.18
òó òî÷êó, ãäå ðàñïîëîæåíà ìàññà            ∆m i .
           Ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè 2

      ∑ ∆m i ρ2i = ∑ ∆m i (R i − a )           ∑ ∆m i R 2i + ∑ ∆m i a 2 − 2a ∑ ∆m i R i .
                                       2
 J=                                        =                                                    (2.51)
       i            i                           i                i            i
       Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó îñü 1 ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð
ìàññ, è
                                                    J = J 0 + ma 2 .                            (2.52)
       Åñëè, íàïðèìåð, îñü – êàñàòåëüíàÿ ê ïîâåðõíîñòè øàðà, òî ìîæíî,
íå ïðîâîäÿ ãðîìîçäêèõ âû÷èñëåíèé, çàïèñàòü:
                                       2              7
                             J = J 0 + mR 2 =
                                         mR 2 + mR 2 = mR 2 .      (2.53)
                                       5              5
       Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ öåíòðà ìàññ. Äî ñèõ
ïîð, ðàññìàòðèâàÿ ìîìåíò èìïóëüñà òâåðäîãî òåëà, ìû îïðåäåëÿëè åãî îòíî-
ñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå XYZ òî÷êè (íà-
ïðèìåð, òî÷êè çàêðåïëåíèÿ òåëà). Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ äèíàìèêè ýòî îêàçûâà-
åòñÿ íåóäîáíî. Íàïðèìåð, ðåøàÿ çàäà÷ó î äèñêå, ñêàòûâàþùåìñÿ ñ íàêëîí-
íîé ïëîñêîñòè, ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü ìîìåíò èìïóëüñà äèñêà îòíîñèòåëüíî
åãî öåíòðà ìàññ, à íå îòíîñèòåëüíî òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé íàêëîííîé ïëîñ-
êîñòè.
       Ðàññìîòðèì, êàê áóäóò ñâÿçàíû ìîìåíòû èìïóëüñà òåëà, îïðåäåëåí-
íûå îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè δ è îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ìàññ òåëà Î, äâèæóùåãîñÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ðèñ. 2.19).
           Ïóñòü ri′ è ri – ðàäèóñû-âåêòîðû ýëåìåíòàðíîé ìàññû                    ∆m i òåëà îò-
íîñèòåëüíî òî÷åê        O ′ è O , R – ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç O ′ â O .

Страницы