Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 41 стр.

UptoLike

Рубрика: 

41
Ëåêöèÿ 3
Âåêòîð w âñåãäà íàïðàâëåí âäîëü îñè âðàùåíèÿ, à
M
 ýòî ñîñòàâ-
ëÿþùàÿ âåêòîðà ìîìåíòà ñèëû âäîëü îñè.
 ñëó÷àå
M = 0
ïîëó÷àåì
w = const
, ñîîòâåòñòâåííî è ìîìåíò èì-
ïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè
L
ñîõðàíÿåòñÿ.
Ïðè ýòîì ñàì âåêòîð L, îïðåäåëåííûé
îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî òî÷êè íà îñè
âðàùåíèÿ, ìîæåò ìåíÿòüñÿ. Ïðèìåð òàêî-
ãî äâèæåíèÿ ïîêàçàí íà ðèñ. 3.5.
Ñòåðæåíü ÀÂ, øàðíèðíî çàêðåï-
ëåííûé â òî÷êå À, âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè
âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè òàêèì îáðàçîì,
÷òî óãîë
α
ìåæäó îñüþ è ñòåðæíåì îñòà-
åòñÿ ïîñòîÿííûì. Âåêòîð ìîìåíòà èìïóëü-
ñà L îòíîñèòåëüíî òî÷êè À äâèæåòñÿ ïî
êîíè÷åñêèé ïîâåðõíîñòè ñ óãëîì ïîëóðà-
ñòâîðà β
π
α=−
2
, îäíàêî ïðîåêöèÿ L íà
âåðòèêàëüíóþ îñü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé,
ïîñêîëüêó ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñè-
òåëüíî ýòîé îñè ðàâåí íóëþ.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òåëà è ðàáîòà âíåøíèõ ñèë (îñü
âðàùåíèÿ íåïîäâèæíà).
Ñêîðîñòü i -é ÷àñòèöû òåëà
v
ii
ρ , (3.11)
ãäå ρ
i
 ðàññòîÿíèå ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
Tmv m J
i
i
ii
i
i
== =
∑∑
1
2
1
2
1
2
2222
ρω ω
, (3.12)
òàê êàê óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ äëÿ âñåõ òî÷åê îäèíàêîâà.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû
ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà âñåõ âíåøíèõ ñèë ðàâíà ïðèðàùåíèþ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè òåëà:
δωωωω ϕAd J J d M d=
=⋅=
1
2
2
dt = M
. (3.13)
Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå òåëà íà êîíå÷íûé óãîë ϕ
0
ðàâíà
Ad=⋅
M
0
0
ϕ
ϕ
. (3.14)
Äîïóñòèì, ÷òî äèñê òî÷èëà âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè ñ óãëîâîé ñêîðîñ-
òüþ ω
0
, è ìû îñòàíàâëèâàåì åãî, ïðèæèìàÿ êàêîé-ëèáî ïðåäìåò ê êðàþ
äèñêà ñ ïîñòîÿííûì óñèëèåì. Ïðè ýòîì íà äèñê áóäåò äåéñòâîâàòü ïîñòîÿí-
L
mg
B
A
Ðèñ. 3.5
Ëåêöèÿ 3                                                                          41

      Âåêòîð w âñåãäà íàïðàâëåí âäîëü îñè âðàùåíèÿ, à M                 – ýòî ñîñòàâ-
ëÿþùàÿ âåêòîðà ìîìåíòà ñèëû âäîëü îñè.
            ñëó÷àå   M    =0     ïîëó÷àåì
w = const , ñîîòâåòñòâåííî è ìîìåíò èì-
ïóëüñà îòíîñèòåëüíî îñè L       ñîõðàíÿåòñÿ.
Ïðè ýòîì ñàì âåêòîð L, îïðåäåëåííûé
îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî òî÷êè íà îñè
âðàùåíèÿ, ìîæåò ìåíÿòüñÿ. Ïðèìåð òàêî-
ãî äâèæåíèÿ ïîêàçàí íà ðèñ. 3.5.
                                                                            L
        Ñòåðæåíü ÀÂ, øàðíèðíî çàêðåï-
ëåííûé â òî÷êå À, âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè
âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè òàêèì îáðàçîì,
÷òî óãîë α ìåæäó îñüþ è ñòåðæíåì îñòà-
                                                             A
åòñÿ ïîñòîÿííûì. Âåêòîð ìîìåíòà èìïóëü-
ñà L îòíîñèòåëüíî òî÷êè À äâèæåòñÿ ïî
êîíè÷åñêèé ïîâåðõíîñòè ñ óãëîì ïîëóðà-
           π
ñòâîðà β =   − α , îäíàêî ïðîåêöèÿ L íà
           2                                                                       B
âåðòèêàëüíóþ îñü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé,
ïîñêîëüêó ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè îòíîñè-              Ðèñ. 3.5               mg
òåëüíî ýòîé îñè ðàâåí íóëþ.
       Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òåëà è ðàáîòà âíåøíèõ ñèë (îñü
âðàùåíèÿ íåïîäâèæíà).
       Ñêîðîñòü i -é ÷àñòèöû òåëà
                                          v i = ωρ i ,                          (3.11)
ãäå ρ i – ðàññòîÿíèå ÷àñòèöû äî îñè âðàùåíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

                           1              1                  1
                      T=     ∑ m i v 2i = 2 ∑ m i ρ 2i ω 2 = 2 Jω 2 ,
                           2 i                                                  (3.12)
                                            i
òàê êàê óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ äëÿ âñåõ òî÷åê îäèíàêîâà.
        ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû
ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà âñåõ âíåøíèõ ñèë ðàâíà ïðèðàùåíèþ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè òåëà:
                       1     
                 δA = d Jω 2  = Jω ⋅ dω = M ω ⋅ dt = M ⋅ dϕ .                 (3.13)
                       2     

Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïðè ïîâîðîòå òåëà íà êîíå÷íûé óãîë ϕ 0 ðàâíà
                                           ϕ0
                                      A=   ∫M      ⋅ dϕ .                       (3.14)
                                           0

      Äîïóñòèì, ÷òî äèñê òî÷èëà âðàùàåòñÿ ïî èíåðöèè ñ óãëîâîé ñêîðîñ-
òüþ ω 0 , è ìû îñòàíàâëèâàåì åãî, ïðèæèìàÿ êàêîé-ëèáî ïðåäìåò ê êðàþ
äèñêà ñ ïîñòîÿííûì óñèëèåì. Ïðè ýòîì íà äèñê áóäåò äåéñòâîâàòü ïîñòîÿí-