Механика твердого тела. Алешкевич В.А - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

67
Ëåêöèÿ 4
ôîðìû âîë÷êà è óãëîâîé ñêîðîñòè âðà-
ùåíèÿ áóäåò ëèáî óñòîé÷èâûì, ëèáî íå-
óñòîé÷èâûì.
Ïóñòü èìååòñÿ ñèììåòðè÷íûé
âîë÷îê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4.18. Ââå-
äåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Î  öåíòð
ìàññ âîë÷êà, h  ðàññòîÿíèå îò öåíòðà
ìàññ äî òî÷êè îïîðû; K  öåíòð êðè-
âèçíû âîë÷êà â òî÷êå îïîðû, r  ðàäèóñ
êðèâèçíû;
J
z
 ìîìåíò èíåðöèè îòíî-
ñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè,
J
x
 ìîìåíò
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé öåíò-
ðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè
ñèììåòðèè.
Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ
âîë÷êà ïðèâîäèò ê äèàãðàììå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.19 [8]. Çäåñü ïî îñè
àáñöèññ îòëîæåíî îòíîøåíèå
J
J
z
x
, à ïî îñè îðäèíàò  îòíîøåíèå
h
r
.
Ïðîâåäåì ãèïåðáîëó
h
rJJ
zx
=
1
/
è ïðÿìóþ
h
r
=1
. Ýòè
ëèíèè äåëÿò îáëàñòü ïîëîæèòåëü-
íûõ çíà÷åíèé
h
r
,
J
J
z
x
íà 4 ÷àñòè.
Îáëàñòü I ñîîòâåòñòâóåò íå-
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ âîë÷êà ïðè
âñåõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ, îáëàñòü II 
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè äîñòà-
òî÷íî áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ
ω > ω
êð
. Îáëàñòü III ñîîòâåòñòâóåò óñ-
òîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ìàëûõ óã-
ëîâûõ ñêîðîñòÿõ ω < ω
êð
, îáëàñòü IV 
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ïðîèç-
âîëüíûõ ω. Êðèòè÷åñêàÿ óãëîâàÿ ñêî-
ðîñòü ω
êð
çàâèñèò îò ìîìåíòîâ èíåð-
öèè J
z
, J
x
, ðàññòîÿíèé r, h è âåñà
òåëà P = mg [8]:
ω
ê
xzx
hrP
Jr h J J r h
ð
()
(/ )( / / )
2
=
−⋅
⋅−
(4.22)
Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êèòàéñêèé âîë÷îê, ðàñêðó÷åííûé äî ω > ω
êð
è ïîñòàâëåííûé íà ïëîñêîñòü âåðòèêàëüíî, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.20à. Ïóñòü
JJ
zx
=. Ïîñêîëüêó h < r, òî ýòîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1 â îáëàñòè III
íà ðèñ. 4.19, òî åñòü îáëàñòü óñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ëèøü ïðè ìàëûõ
ω
. Òàêèì
O
K
h
r
z
x
J
J
Ðèñ. 4.18
I
Íåóñò.
Óñòîé÷. ïðè
<
ω ω
Óñòîé÷. ïðè
ω > ω
Óñòîé÷.
II
III
IV
êð
êð
0
2
2
1
1
O
O
K
K
h/r
zx
J /J
1
1
Ðèñ. 4.19
Ëåêöèÿ 4                                                                                          67
ôîðìû âîë÷êà è óãëîâîé ñêîðîñòè âðà-
ùåíèÿ áóäåò ëèáî óñòîé÷èâûì, ëèáî íå-
                                                                                   Jz
óñòîé÷èâûì.
       Ïóñòü èìååòñÿ ñèììåòðè÷íûé
âîë÷îê, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 4.18. Ââå-
äåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: Î – öåíòð
ìàññ âîë÷êà, h – ðàññòîÿíèå îò öåíòðà                                          O
ìàññ äî òî÷êè îïîðû; K – öåíòð êðè-
âèçíû âîë÷êà â òî÷êå îïîðû, r – ðàäèóñ                                                            Jx
êðèâèçíû; J z – ìîìåíò èíåðöèè îòíî-
                                                                   h           K
ñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè, J x – ìîìåíò                              r
èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé öåíò-
ðàëüíîé îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè
ñèììåòðèè.                                        Ðèñ. 4.18
       Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ
âîë÷êà ïðèâîäèò ê äèàãðàììå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.19 [8]. Çäåñü ïî îñè
                                      Jz                               h
àáñöèññ îòëîæåíî îòíîøåíèå               , à ïî îñè îðäèíàò – îòíîøåíèå .
                                      Jx                               r
        Ïðîâåäåì         ãèïåðáîëó
h    1                    h
                                              h/r
  =          è ïðÿìóþ       = 1 . Ýòè                                           II
r Jz / Jx                 r                                               2
ëèíèè äåëÿò îáëàñòü ïîëîæèòåëü-
                                                        I                 Óñòîé÷. ïðè ω > ωêð
                                                       Íåóñò.
                h Jz
íûõ çíà÷åíèé     ,   íà 4 ÷àñòè.                  1
                r Jx                                    III                         IV      Óñòîé÷.
         Îáëàñòü I ñîîòâåòñòâóåò íå-
                                                                          1
                                                       Óñòîé÷. ïðè ω < ωêð
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ âîë÷êà ïðè
âñåõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ, îáëàñòü II –              0                   1                        Jz/Jx
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè äîñòà-
òî÷íî áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ
ω > ωêð. Îáëàñòü III ñîîòâåòñòâóåò óñ-                        1                 2       O
òîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ìàëûõ óã-                                  K
ëîâûõ ñêîðîñòÿõ ω < ωêð, îáëàñòü IV –
óñòîé÷èâîìó âðàùåíèþ ïðè ïðîèç-                                   O
                                                                                     K
âîëüíûõ ω. Êðèòè÷åñêàÿ óãëîâàÿ ñêî-
ðîñòü ωêð çàâèñèò îò ìîìåíòîâ èíåð-
                                                                          Ðèñ. 4.19
öèè Jz, Jx, ðàññòîÿíèé r, h è âåñà
òåëà P = mg [8]:
                                             ( h − r) ⋅ P
                       ω 2ê ð =                                                                 (4.22)
                                  J x (r / h ) ⋅ (J z / J x − r / h )

       Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, êèòàéñêèé âîë÷îê, ðàñêðó÷åííûé äî ω > ωêð
è ïîñòàâëåííûé íà ïëîñêîñòü âåðòèêàëüíî, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.20à. Ïóñòü
J z = J x . Ïîñêîëüêó h < r, òî ýòîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1 â îáëàñòè III
íà ðèñ. 4.19, òî åñòü îáëàñòü óñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ëèøü ïðè ìàëûõ ω . Òàêèì

Страницы