Лабораторный практикум по электричеству и магнетизму. Ч. 3. Алейников Н.М - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
Подставляя (3) в (1), получим однородное дифференциальное уравнение
I порядка 0
1
=+ U
RC
dt
dU
, решением которого будет
RC
t
BeU
−
= (4),
где В – постоянная интегрирования . Постоянную В определим из начального
условия U=U
0
│
t=0
, т.е. подставляя t=0 и U=U
0
в (4), получим В = U
0
.
Подставляя В=U
0
в (4), получим зависимость напряжения на
конденсаторе от времени при разряде
RC
t
eUU
−
=
0
(5).
Из (5) следует , что процесс разряда конденсатора происходит не мгно -
венно , а зависит от величины τ=RС , которая имеет размерность времени и
называется временем релаксации или постоянной времени R С - цепочки .
Очевидно , что в момент времени t=τ напряжение на конденсаторе умень-
шится в е раз .
Величину τ можно определить по графику зависимости U=f(t), опреде-
ляя время разряда, за которое напряжение на конденсаторе уменьшается в е
раз . Более точно время релаксации можно определить, преобразовав коор-
динаты. Логарифмируя (5) с учетом RС = τ, получим зависимость
t
U
U
τ
1
ln
0
−= (6),
которая в координатах )(ln
0
tf
U
U
= представляет прямую с отрицательным
наклоном , определяемым величиной τ (рис.1). Дифференцируя (6) и заменяя
производную отношением конечных прираще-
ний , получим
0
ln
U
U
t
∆
∆
−=τ
(7),
откуда следует , что постоянная времени τ равна
промежутку времени Δ t , за который приращение
логарифма
0
ln
U
U
∆ изменяется на единицу .
Рассмотрим процесс заряда конденсатора. Если в момент времени t=0 к
RС -цепочке подключить источник с напряжением U
0
, то в цепи пойдет ток
заряда конденсатора, уменьшающийся со временем . При этом напряжение на
конденсаторе изменится не мгновенно до напряжения источника , а будет
монотонно увеличиваться , асимптотически приближаясь к U
0
.
По второму правилу Кирхгофа IR+ U = U
0
(8).
Здесь IR – падение напряжения на сопротивлении, U – напряжение на
конденсаторе, U
0
– напряжение источника , равное его эдс. Подставляя (3) в
(8), получим неоднородное дифференциальное уравнение I порядка
RC
U
U
RC
dt
dU
0
1
=+ .
-1
-2
-3
t
τ
0
ln(U/U )
0
Рис.1
                                                   4
       Под ставля я (3) в (1), получим од нород ноед иф ф еренциальное уравнение
                                                                                           t
            dU   1                                                                    −
I поря д ка    +   U = 0 , решением которого буд ет                          U = Be       RC
                                                                                                  (4),
            dt RC
гд еВ – постоя нная интегрирования . Постоя нную В опред елим из начального
условия U=U0│t=0, т.е. под ставля я t=0 и U=U0 в (4), получим В = U0.
     Под ставля я В =U0 в (4), получим з ависим ость напря ж ения на
конд енсатореот врем ени при раз ря д е
                                   t
                               −
                    U = U 0e       RC          (5).
      И з (5) след ует, что процесс раз ря д а конд енсатора происход ит не м гно-
венно, а з ависит от величины τ=RС , которая им еет раз м ерность врем ени и
наз ы вается врем енем релаксации или постоя нной врем ени RС -цепочки.
О чевид но, что в м ом ент врем ени t=τнапря ж ение на конд енсаторе ум ень-
шится в е раз .
      В еличину τм ож но опред елить по граф ику з ависим ости U=f(t), опред е-
ля я врем я раз ря д а, з а которое напря ж ение на конд енсаторе ум еньшается в е
раз . Более точно врем я релаксации м ож но опред елить, преобраз овав коор-
д инаты . Логариф м ируя (5) сучетом RС = τ, получим з ависим ость
                    U     1
                    ln =− t                 (6),
                    U0    τ
                          U
которая в коорд инатах ln    = f (t ) пред ставля ет пря м ую с отрицательны м
                          U0
наклоном , опред еля ем ы м величиной τ(рис.1). Д иф ф еренцируя (6) и з ам еня я
 0      τ                    произ вод ную отношением конечны х приращ е-
                          t                                           ∆t
                                       ний, получим         τ =−                               (7),
-1                                                                      U
                                                                   ∆ ln
                                                                        U0
-2                                     откуд а след ует, что постоя нная врем ени τравна
                                       пром еж утку врем ени Δ t, з а которы й приращ ение
-3                                                        U
     ln(U/U0)                          логариф м а ∆ ln      из м еня ется на ед иницу.
                   Рис.1                                  U0
        Рассм отрим процессз аря д а конд енсатора. Е сли в м ом ент врем ени t=0 к
RС -цепочке под клю чить источник с напря ж ением U0, то в цепи пойд ет ток
з аря д а конд енсатора, ум еньшаю щ ийся со врем енем . При этом напря ж ение на
конд енсаторе из м енится не м г новенно д о напря ж ения источника, а буд ет
м онотонно увеличиваться , асим птотически приближ ая ськ U0.
       По втором у правилу К ирхгоф а         IR+ U = U0               (8).
Зд есь IR – пад ение напря ж ения на сопротивлении, U – напря ж ение на
конд енсаторе, U0 – напря ж ение источника, равное его эд с. Под ставля я (3) в
(8), получим неод нород ноед иф ф еренциальноеуравнениеI поря д ка
                    dU   1   U
                       +   U= 0 .
                    dt RC    RC

Страницы