Задачи по квантовой механике. Часть 2. Алмалиев А.Н - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

¤
r
−1
r
−1
®
= 4
Z
3
a
3
0
∞
Z
0
r exp
µ
−
2Zr
a
0
dr =
Z
a
0
∞
Z
0
te
−t
dt =
Z
a
0
.
2 hT i =
N hUi hT i hUi
U(r) ∼ r
N
U(r) = −Ze
2
/r ∼ r
−1
2 hT i = −hUi
1s
hT i + hUi = E
1s
= −
1
2
Z
2
e
2
a
0
.
hT i hUi
hUi = −Ze
2
r
−1
®
= −Z
2
e
2
a
0
r
−1
®
=
Z
a
0
¤
µ
a
U(r) =
(
0, r 6 a;
+∞, r > a,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.                                            ¤

Ïðèìåð 1.7. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå r−1 â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè
âîäîðîäîïîäîáíîãî àòîìà.
Ðåøåíèå.
  1 ñïîñîá.
  Èñïîëüçóÿ (1.25), èìååì:
                      Z∞     µ      ¶         Z∞
        ­ −1 ®   Z3             2Zr        Z             Z
         r     =4 3     r exp −       dr =      te−t dt = .
                 a0              a0        a0            a0
                      0                            0

   2 ñïîñîá.
   Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé âèðèàëà. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, 2 hT i =
N hU i, ãäå hT i è hU i  ñîîòâåòñòâåííî ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåí-
öèàëüíàÿ ýíåðãèè ñèñòåìû è ïðåäïîëàãàåòñÿ U (r) ∼ rN .
   Â àòîìå âîäîðîäà U (r) = −Ze2 /r ∼ r−1 , è òåîðåìà âèðèàëà ïðèíèìàåò
âèä:
                                 2 hT i = − hU i                   (1.29)
â ïðîèçâîëüíîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè.
   Â 1s-ñîñòîÿíèè
                                                1 2 e2
                          hT i + hU i = E1s   =− Z     .           (1.30)
                                                2 a0
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (1.29) è (1.30) ñîâìåñòíî îòíîñèòåëüíî hT i è hU i, ïîëó-
÷àåì:
          2
            ­ −1 ®      2e
                           2         ­   ®  Z
hU i = −Ze r       = −Z      , îòêóäà r−1 = .
                         a0                a0
    Äàííûé ìåòîä íå òðåáóåò íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ
è óäîáåí ïðè ðàññìîòðåíèè âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé.                      ¤

Ïðèìåð 1.8. Íàéòè óðîâíè ýíåðãèè ÷àñòèöû ìàññû µ â ñôåðè÷åñêîé
áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ðàäèóñà a.
Ðåøåíèå. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â äàííîé çàäà÷å èìååò âèä:
                              (
                               0,    r 6 a;
                      U (r) =
                               +∞, r > a,
ò.å. ïîëå öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íî. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðåøèòü óðàâíå-
íèå (1.12). Òàê êàê ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ðàçðûâíûé õàðàêòåð,
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.12) ñëåäóåò èñêàòü â âèäå


                                       14

Страницы