Практикум по курсу "Объектно-ориентированное программирование" на языке C#. Андрианова А.А - 38 стр.

                       aij
     akj  akj  aki         ,    j  1..n, k  1..m, k  i
                       aii

            bi
     bi 
            aii
                     bi
     bk  bk  aki       ,       k  1..m, k  i
                     aii

      Эти формулы определяют эквивалентное преобразование СЛАУ,
которое не меняет ее решение и позволяет определить ранг матрицы
коэффициентов. Напомним, что ранг – это максимальный порядок минора
матрицы, отличный от нуля. Посредством исключения нужно добиться,
чтобы один из миноров, соответствующих рангу матрицы, занял положение в
ее верхнем левом углу.
      Преобразование осуществляется перестановкой строк и столбцов
(переменных) матрицы. Согласно формулам Жордана-Гаусса исключение
производится с помощью ненулевых элементов строк, расположенных в
столбце с тем же номером. Если в строке с номером i такой элемент равен
нулю, осуществляется поиск ненулевых элементов среди тех, которые
расположены ниже в том же столбце. Если будет найден ненулевой элемент в
k-ой строке, две строки с номерами i и k меняются местами (при этом
изменяется порядок следования двух уравнений системы). Решение системы
при этом не изменится и можно будет провести исключение по i-ой строке.
Очевидно, что если ненулевых элементов не будет найдено, i-ый столбец
является нулевым. Меняем столбцы местами таким образом, чтобы все
нулевые столбцы оказались последними (для отслеживания количества
нулевых столбцов используется специальная переменная). Поскольку
столбцам матрицы соответствуют переменные СЛАУ, изменение порядка
столбцов означает изменение порядка переменных. Для фиксации
используемого порядка переменных в класс Slau следует ввести массив
reoder, который будет хранить перестановку переменных в результате
проведенных преобразований системы. Стандартный порядок следования
переменных должен быть инициализирован в конструкторе класса Slau.
      В результате проведения исключений по всем строкам матрицы
коэффициентов в ее левом верхнем углу будет расположена единичная
матрица. Порядок единичной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов.
Строки, расположенные ниже единичной матрицы, являются нулевыми.

37