Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

251
Естественно предположить, что такое расположение соответствует линейной зависимости
вида
baxy . Зависимость, изображенная на рис. 7.22, может быть представлена
многочленом второй степени
cbxaxy
2
.
Если речь идет о периодической функции, то можно выбрать для ее изображения
несколько гармоник тригонометрического ряда и т. д.
Очень часто вид зависимости ,...),,,(
cbaxy
(линейная, квадратичная, показательная
и т. д.) бывает известен из физических соображений, связанных с существом решаемой
задачи, а из опыта требуется установить только значения параметров ,...,,
cba этой
зависимости, причем выбрать их так, чтобы кривая ,...),,,(
cbaxy
в каком-то смысле
наилучшим образом отображала зависимость, полученную в эксперименте.
7.5.3. Метод наименьших квадратов
Общепринятым методом решения данной задачи является метод наименьших
квадратов
, при котором требование наилучшего согласования кривой ,...),,,( cbaxy
и
экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений
экспериментальных точек от сглаживающей кривой по оси
Oy была наименьшей.
Этот метод имеет перед другими методами сглаживания следующие преимущества:
а) он приводит к сравнительно простому математическому способу определения
параметров ,...,,
cba ;
б) допускает достаточно веское теоретическое обоснование с вероятностной точки
зрения [9].
Перейдем к задаче определения параметров ,...,,
cba , исходя из метода наименьших
квадратов. Пусть имеется таблица экспериментальных данных (табл. 7.18), и пусть из каких-
то соображений выбран общий вид функции ,...),,,(
cbaxy
, зависящий не только от
аргумента
x
, но и от нескольких числовых параметров ,...,, cba
Эти параметры и требуется выбрать согласно методу наименьших квадратов так, чтобы
сумма квадратов отклонений
i
y от ,...),,,( cbax
i
была наименьшей. Рассмотрим сумму
квадратов разностей значений
i
y , полученных из эксперимента, и значений функции
,...),,,(
cbaxy
в соответствующих точках

.,...),,,(,...),,(
1
2
n
i
ii
cbaxycbaS
(7.61)
Требуется выбрать параметры
,...,, cba
так, чтобы эта сумма была минимальной.
Из необходимого условия экстремума функции нескольких переменных следует, что
эти значения
,...,, cba
удовлетворяют системе уравнений
,.....0,0,0
c
S
b
S
a
S
(7.62)
или в развернутом виде



..................................................................
,0
,...),,,(
,...),,,(
,0
,...),,,(
,...),,,(
,0
,...),,,(
,...),,,(
1
1
1
c
cbax
cbaxy
b
cbax
cbaxy
a
cbax
cbaxy
i
n
i
ii
i
n
i
ii
i
n
i
ii
(7.63)
Эта система уравнений называется
нормальной системой метода наименьших
квадратов. Она содержит столько же уравнений, сколько неизвестных ,...,,
cba Решить

Страницы