Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

217
По рис. 7.6 видно, что наименьший положительный корень данного уравнения лежит внутри
отрезка ]5,1;5,0[. Проверим аналитически, что корень отделен на этом отрезке. Вычисляем:
.766,1)5,1(;974,0)5,0(
ff Поскольку 0)5,1()5,0(
ff и функция непрерывна, то в силу
теоремы 7.2.1 внутри отрезка ]5,1;5,0[ имеются корни. Поскольку 0083,0)5,0(
f и
0)(
xf для всех 5,0x , то 0)5,0()(
fxf для всех ]5.1,5.0[
x , т. е. функция
возрастает на ]5,1;5,0[. Поэтому, на основании теоремы 7.2.2, внутри этого отрезка имеется
один корень уравнения, и он может быть взят в качестве начального.
3. С помощью микрокалькулятора делаем 3 шага методом половинного деления;
результаты заносим в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Уточнение начального отрезка методом половинного деления
N
n
a
n
c
n
b
n
)(
n
af )(
n
cf )(
n
bf
0 0,5 1,0 1,5 1,0 – 0,974 – 0,386 1,766
1 1,0 1,25 1,5 0,5 – 0,386 0,449 1,766
2 1,0 1,125 1,25 0,25 – 0,386 – 0,023 0,449
3 1,125 1,1875 1,25 0,125
В результате получаем: уточненный отрезок [1,125; 1,250]; приближенное значение
корня
19,1x ; погрешность корня
2
1025,6
. При этом были введены следующие
дополнительные обозначения:
nnnnnn
abbac
;2/)(
.
Дальнейшее уточнение корня проводим комбинированным методом. Так как
0)125,1()125,1(
ff , то левый конец отрезка [1,125; 1,250] уточняем методом хорд, а
правый – методом Ньютона. Поэтому используем формулы (7.19). Результаты вычислений
заносим в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Уточнение корня комбинированным методом
N
n
a
n
b
nn
ab
)(
n
af )(
n
bf )(
n
bf
0 1,125 1,250 0,125 – 0,023092 0,444045 4,243056
1 1,131114 1,144170 0,013056 – 0,002622 0,041961 3,460994
2 1,131882 1,132046 0,000164
Так как
2000164,0
22
ab
, вычисления прекращаем на втором шаге. Находим корень
уравнения
131964,1
2
132046,1131882,1
0
x .
4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу
Mathcad. Открываем файл Lab2.mcd. Вводим функцию
)).1(2ln(:)(
3
xxxf
Строим график функции на найденном начальном интервале [0,5;1,5] (рис. 7.7).
Характеристики графика свидетельствуют, что функция непрерывна, )(xf
и )(xf
существуют и знакопостоянны на этом отрезке (т. е. функция монотонна и не меняет
направление выпуклости) и что корень уравнения
*
x , причем единственный, лежит в
интервале [0,5;1,5]. Таким образом, можем применить все вышеперечисленные методы.
После этого находим корень с точностью до
15
10
с помощью встроенной функции системы
Mathcad
64621318920600.1)5.1,5.0,),((
xxfroot .

Страницы