Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

237
7.4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка
7.4.1. Постановка задачи
Многие практические задачи при их математическом моделировании сводятся к
решению обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к уравнениям, в которые входят
независимая переменная, искомая функция и ее производные. В данной лабораторной работе
рассматриваются численные методы поиска решения )(xy для дифференциального
уравнения первого порядка
),,( yxfy
(7.50)
которое удовлетворяет начальному условию
00
)( yxy
. (7.51)
Известно [6]–[8], что для существования и единственности решения этой задачи
(задачи Коши) достаточно, чтобы функция ),( yxf и ее частная производная
y
f
были
непрерывны в некоторой области плоскости Oxy , содержащей окрестность точки
),(
000
yxM . В то же время аналитическое решение задачи Коши можно найти только в
отдельных, наиболее простых случаях, изучаемых в курсе высшей математики [6]. В
остальных случаях решение ищется приближенными методами.
Все приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют
решение, можно условно разделить на следующие группы: аналитические (дают
приближение
)(xy аналитическим выражением), графические (дают приближение )(xy
графиком) и численные (дают приближение )(xy с помощью таблицы). В данной
лабораторной работе рассматриваются лишь два из большого числа численных методов
решения задачи Коши: метод Эйлера и метод Рунге-Кутта [6]–[8]. При этом решение
)(xyy находится в виде таблицы значений:
n
yyyy ,...,,,
210
соответственно для значений
аргумента:
n
xxxx ,...,,,
210
.
Рис. 7.15.
Если соединить найденные в процессе решения точки ),(...,),,(),,(),,(
221100 nn
yxyxyxyx
гладкой кривой, то получим график приближенного решения задачи Коши (на рис. 7.15:
кривая 1 – интегральная кривая y=y(x); кривая 2 – график приближенного решения задачи
Коши ). Этот график по мере удаления от начальной точки ),(
00
yx все более и более будет
отклоняться от графика точного решения (интегральной кривой). Степень отклонения
приближенного решения от точного характеризует точность численного метода.

Страницы