Составители:
Рубрика:
1.5. Логическое следование
Кроме отношения равносильности, между формулами
исчисления высказываний на практике приходится рассматривать
отношение логического следования: формула Ф
2
(P
1
,...,P
N
) логически
следует из формулы Ф
1
(P
1
,...,P
N
), или
Ф
1
(P
1
,...,P
N
) ⇒ Ф
2
(P
1
,...,P
N
),
если Ф
2
(P
1
,...,P
N
) истинна на всех наборах значений P
1
,...,P
N
, на
которых Ф
1
(P
1
,...,P
N
) истинна.
Логическое следование Ф
1
⇒Ф
2
означает, что из истинности Ф
1
следует истинность Ф
2
, но если Ф
1
ложна, то относительно Ф
2
ничего сказать нельзя. Функция Ф
1
в этом случае называется
импликантой для Ф
2
. Важное значение имеет
Теорема 1.2. Ф
1
(P
1
,...,P
N
) ⇒ Ф
2
(P
1
,...,P
N
) тогда и только
тогда, когда импликация Ф
1
(P
1
,...,P
N
)→ Ф
2
(P
1
,...,P
N
) является
тавтологией.
Пример 1.1. Необходимо выяснить, является ли одно составное
высказывание логическим следствием другого. Возьмем
высказывание: "Равные треугольники подобны". Это высказывание
можно записать символически Ф
1
= A → B, где A = "Треугольники
равны", B = "Треугольники подобны".
Рассмотрим высказывание: “Треугольники подобны только в
случае их равенства", которое можно записать символически как
Ф
2
=B→A, где A и B определены выше. Является ли Ф
2
логическим
следствием Ф
1
? Для получения ответа на этот вопрос рассмотрим
импликацию Ф
3
= (A → B) → (B → A) и, чтобы проверить, является
ли она тавтологией, упростим эту формулу:
(A→B)→(B→A) = (
⎯
A \/ B)→(
⎯
B \/ A) = ⎤(
⎯
A \/ B) \/
⎯
B \/ A =
(⎤
⎯
A &
⎯
B) \/
⎯
B \/ A =
⎯
B \/ A = B → A,
т.е. Ф
3
не является тавтологией, следовательно, нельзя сказать, что
Ф
2
является логическим следствием Ф
1
.
96
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
