Вычислительная математика. Ч. 2. Асламова В.С - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГТА | Ангарск

Составители: 

Рубрика: 

49
2.2.1.1. Метод Милна
В этом методе на этапе прогноза используется формула Милна:
)5(55
5
2131
90
28
)(
),()22(
3
4
yhhO
hOyyyhyy
iiiii
=
+
′
+
′
−
′
⋅+=
−−−+
а на этапе коррекции – формула Симпсона:
)5(55
5
1111
90
1
)(
),()4(
3
1
yhhO
hOyyyhyy
iiiii
−=
+
′
+
′
+
′
⋅+=
−+−+
Указанные погрешности в обеих формулах в действительности в итера-
ционном процессе не используются и служат лишь для оценки погрешности
метода. Значения производных в формулах принимаются равными значению
правой части дифференциального уравнения.
Метод Милна относят к методам четвёртого порядка точности, так как в
нём отбрасываются члены, содержащие h в пятой и более высоких с
тепенях.
Может возникнуть вопрос: зачем вообще нужна коррекция, если прогноз
имеет четвёртый порядок точности?
Ответ на этот вопрос даёт оценка относительной величины членов, выра-
жающих погрешность. В данном случае погрешность усечения при коррек-
ции в 28 раз меньше и поэтому представляет большой интерес.
Вообще формулы коррекции гораздо более точны, чем фо
рмулы прогноза,
и поэтому их использование оправдано, хотя и связано с дополнительными
трудностями.
Ниже приведена блок-схема данного метода (рис.13). Для остальных ме-
тодов прогноза и коррекции, рассматриваемых в этой главе, данная блок-
схема является справедливой - следует лишь поменять формулы прогноза и
коррекции.
2.2.1.2. Метод Адамса-Башфорта
Этот метод также имеет четвёртый порядок точности. Используемая в нём
формула прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной
формулы Ньютона и имеет вид:
- погрешность формулы коррекции.
- погрешность формулы прогноза.
где
где
50
.
720
251
)(
),()9375955(
24
1
)5(55
5
3211
yhhOгде
hOyyyyhyy
iiiiii
=
+
′
−
′
+
′
−
′
⋅+=
−−−+
.
На этапе коррекции используется формула:
.
720
19
)(
),()5199(
24
1
)5(55
5
2111
yhhOгде
hOyyyyhyy
iiiiii
−=
+
′
+
′
−
′
+
′
⋅+=
−−++
.
Расчёты по методу Адамса-Башфорта выполняются так же, как и по мето-
ду Милна, однако в отличие от последнего ошибка, внесённая на каком-либо
шаге, не имеет тенденции к экспоненциальному росту.
Можно предположить, что поскольку величина отбрасываемого члена из-
вестна, то её можно использовать для уточнения скорректированного значе-
ния зависимой переменной. Однак
о, это было бы равноценно использованию
системы более высокого порядка точности. Так как внесение поправок в кор-
ректирующий член может отрицательно сказаться на устойчивости счёта, то
для повышения точности счёта следует прибегать к методам более высоких
порядков точности.
2.2.1.3. Метод Хемминга
Это устойчивый метод четвёртого порядка точности, в основе которого
лежат следующие формулы прогноза:
),()22(
3
4
5
2131
hOyyyhyy
nnnnn
+
′
+
′
−
′
⋅+=
−−−+
и коррекции:
),()]2(39[
8
1
5
1121
hOyyyhyyy
nnnnnn
+
′
−
′
+
′
⋅+−=
−+−+
Особенностью метода Хемминга является то, что он позволяет оценивать
погрешности, вносимые на стадиях прогноза и коррекции и устранять их.
Благодаря простоте и устойчивости этот метод является одним из наиболее
распространённых методов прогноза и коррекции.
)5(55
90
28
)( yhhOгде =
.
40
1
)(
)5(55
yhhОгде −=
                           2.2.1.1. Метод Милна                                                                         1
   В этом методе на этапе прогноза используется формула Милна:                                             yi +1 = yi +    h ⋅ (55 yi′ − 59 yi′−1 + 37 yi′−2 − 9 yi′−3 ) + O(h 5 ),
                                                                                                                       24                                                           .
                               4                                                                                          251
                                 h ⋅ ( 2 y i′ − y i′−1 + 2 y i′− 2 ) + O ( h 5 ),
                    y i +1 = y i − 3 +                                                                    где O(h 5 ) =         h 5 y (5) .
                               3                                                                                          720
                              28 5 ( 5 )                                                    На этапе коррекции используется формула:
                где O ( h ) =
                         5
                                  h y - погрешность формулы прогноза.
                              90                                                                                       1
                                                                                                       yi +1 = yi +        h ⋅ (9 y i′+1 + 19 yi′ − 5 yi′−1 + yi′− 2 ) + O ( h 5 ),
а на этапе коррекции – формула Симпсона:                                                                               24                                                             .
                                    1                                                                                        19 5 ( 5 )
                 y i + 1 = y i − 1 + h ⋅ ( y i′+ 1 + 4 y i′ + y i′− 1 ) + O ( h 5 ),                   где O ( h ) = −
                                                                                                                 5
                                                                                                                                   h y .
                                    3                                                                                       720
                                      1 5 (5)                                               Расчёты по методу Адамса-Башфорта выполняются так же, как и по мето-
                где O ( h 5 ) = −       h y - погрешность формулы коррекции.             ду Милна, однако в отличие от последнего ошибка, внесённая на каком-либо
                                     90
    Указанные погрешности в обеих формулах в действительности в итера-                   шаге, не имеет тенденции к экспоненциальному росту.
ционном процессе не используются и служат лишь для оценки погрешности                       Можно предположить, что поскольку величина отбрасываемого члена из-
метода. Значения производных в формулах принимаются равными значению                     вестна, то её можно использовать для уточнения скорректированного значе-
правой части дифференциального уравнения.                                                ния зависимой переменной. Однако, это было бы равноценно использованию
    Метод Милна относят к методам четвёртого порядка точности, так как в                 системы более высокого порядка точности. Так как внесение поправок в кор-
нём отбрасываются члены, содержащие h в пятой и более высоких степенях.                  ректирующий член может отрицательно сказаться на устойчивости счёта, то
Может возникнуть вопрос: зачем вообще нужна коррекция, если прогноз                      для повышения точности счёта следует прибегать к методам более высоких
имеет четвёртый порядок точности?                                                        порядков точности.
    Ответ на этот вопрос даёт оценка относительной величины членов, выра-                                                2.2.1.3. Метод Хемминга
                                                                                            Это устойчивый метод четвёртого порядка точности, в основе которого
жающих погрешность. В данном случае погрешность усечения при коррек-
                                                                                         лежат следующие формулы прогноза:
ции в 28 раз меньше и поэтому представляет большой интерес.
                                                                                                                           4
    Вообще формулы коррекции гораздо более точны, чем формулы прогноза,                               y n +1 = y n − 3 + h ⋅ ( 2 y n′ − y n′ −1 + 2 y n′ − 2 ) + O ( h 5 ),
                                                                                                                           3
и поэтому их использование оправдано, хотя и связано с дополнительными
трудностями.                                                                                                                 28 5 (5)
                                                                                                         где O(h 5 ) =          h y
    Ниже приведена блок-схема данного метода (рис.13). Для остальных ме-                                                     90
тодов прогноза и коррекции, рассматриваемых в этой главе, данная блок-                   и коррекции:
схема является справедливой - следует лишь поменять формулы прогноза и                                             1
                                                                                                        y n +1 =     [ 9 y n − y n − 2 + 3 h ⋅ ( y n′ +1 + 2 y n′ − y n′ −1 )] + O ( h 5 ),
коррекции.                                                                                                         8
                         2.2.1.2. Метод Адамса-Башфорта                                                                      1 5 (5)
    Этот метод также имеет четвёртый порядок точности. Используемая в нём                             где О(h5 ) = −            h y .
                                                                                                                             40
формула прогноза получена интегрированием обратной интерполяционной
                                                                                            Особенностью метода Хемминга является то, что он позволяет оценивать
формулы Ньютона и имеет вид:
                                                                                         погрешности, вносимые на стадиях прогноза и коррекции и устранять их.
                                                                                         Благодаря простоте и устойчивости этот метод является одним из наиболее
                                                                                         распространённых методов прогноза и коррекции.

                                                                                    49   50

Страницы