Дискретная математика. Азарнова Т.В - 22 стр.

                                           22
Теория множеств
Если m =1 , то данный класс эквивалентности [0] =Ζ , других классов
эквивалентности просто не существует, и Ζ / ρ ={[0]}. Если m >1 , то
существуют элементы, не попавшие в построенный класс, например, элемент
1. Построим класс эквивалентности, порожденный 1
[1] ={y ∈Ζ : 1 ≈ y}={y ∈Ζ : 1 −y делится на m}=
={y ∈Ζ : ∃k ∈Ζ 1 −y =k ⋅ m}={y ∈Ζ : ∃k ∈Ζ y =1 −k ⋅ m}=
={1,1 −m,1 +m,1 −2m,1 +2m,1 −3m,1 +3m,...,1 −km,1 +km,...}.
При m =2 построенные два класса эквивалентности при объединении дают
все множество Ζ и поэтому построение классов эквивалентности закончено,
в противном случае существует элемент, например 3, не попавший ни в один
из этих классов эквивалентности, и нужно перейти к построению класса
эквивалентности, порожденного 2. Продолжая данный процесс, при любом
m мы построим классы эквивалентности
                                [0][
                                   , 1],..., [m −1],
которые не пересекаются и при объединении дают все множество Ζ . Таким
образом,
          Ζ / ρ ={{n, n −m, n +m,..., n −km, n +km,...}: n =1,2,..., m −1}.

         Задача 3. На плоскости Ρ выбрана некоторая декартова
прямоугольная система координат. На Ρ заданы три отношения
эквивалентности:
                    ρ1 ={((a1 , a 2 ), (b1 , b2 ))∈Ρ ×Ρ : a1 =b1 , a 2 −b2 ∈Ζ };
                 ρ2 ={((a1 , a 2 ), (b1 , b2 ))∈Ρ ×Ρ : a1 −b1 ∈Ζ , a 2 −b2 ∈Ζ };
                    ρ3 ={((a1 , a 2 ), (b1 , b2 ))∈Ρ ×Ρ : a1 −b1 +a 2 −b2 ∈Ζ }.
Найдите фактор-множества для данных отношений эквивалентности.
         Решение. Построим фактор-множество для отношения ρ1 . Класс
эквивалентности, порожденный произвольным элементом (a1 , a 2 )∈Ρ ,
имеет вид
[(a1 , a 2 )] ={(x, y )∈Ρ : ((a1 , a 2 ), (x, y ))∈ ρ1}={(x, y )∈Ρ : x =a1 , a 2 −y ∈Ζ }=
={(x, y )∈Ρ : ∃k ∈Ζ x =a1 , a 2 −y =k }=
={(x, y )∈Ρ : ∃k ∈Ζ x =a1 , y =a 2 −k }=
={(a1 , a 2 −k )∈Ρ : k ∈Ζ }.
Таким образом, в класс эквивалентности, порожденный элементом
(a1 , a 2 )∈Ρ a1 ∈R, 0 ≤a 2 <1 , попадают вместе с элементом (a1 , a 2 )∈Ρ
элементы, у которых первая координата равна a1 , а вторая координата
отличается от a 2 на целое число. Классы эквивалентности, порожденные
элементами с a1 ∈ R, 0 ≤a 2 <1 , не пересекаются и в объединении дают все
множество Ρ . Следовательно, фактор-множество Ρ / ρ1 можно записать в
виде
                       Ρ / ρ1 ={{(α , β +k ): k ∈Ζ } : α ∈R, β ∈[0,1)}.