Дискретная математика. Азарнова Т.В - 20 стр.

                                      20
Теория множеств
15. Докажите, что если ρ - транзитивное и симметричное бинарное
отношение на множестве Α , область определения которого совпадает с Α ,
то ρ рефлексивно.

                  § 3. Специальные бинарные отношения

         Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение ρ на
множестве Χ называется отношением эквивалентности на множестве Χ .
Для отношения эквивалентности вместо записи (x, y )∈ ρ часто используют
запись x ≈ y (читается : x эквивалентен y )
         Классом эквивалентности, порожденным элементом x , называется
подмножество множества Χ , состоящее из тех элементов y ∈Χ , для
которых (x, y )∈ ρ . Класс эквивалентности, порожденный элементом x ,
обозначается через [x]:
                            [x] ={y ∈Χ : (x, y )∈ ρ}.
         Разбиением множества Χ называется совокупность попарно
непересекающихся подмножеств Χ таких, что каждый элемент множества
Χ принадлежит одному и только одному из этих подмножеств. Всякое
разбиение множества Χ определяет на Χ отношение эквивалентности ρ :
(x, y )∈ ρ тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному
подмножеству разбиения. С другой стороны, всякое отношение
эквивалентности ρ определяет разбиение множества Χ на классы
эквивалентности относительно этого отношения.
         Совокупность классов эквивалентности элементов множества Χ по
отношению эквивалентности ρ называется фактор-множеством множества
Χ по отношению ρ и обозначается Χ / ρ .
         Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
называется отношением частичного порядка на множестве Χ и вместо
записи (x, y )∈ ρ для данного отношения часто используют запись x ≤ y .
Отношение частичного порядка на множестве Χ , для которого любые два
элемента сравнимы, т.е. для любых x, y ∈Χ выполнено либо x ≤ y , либо
 y ≤x , называется отношением линейного порядка. Множество Χ с
заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично
(линейно) упорядоченным.
Пусть Χ - непустое конечное множество, на котором задано отношение
частичного порядка. Запишем x < y , если x ≤ y и x ≠ y . Говорят, что
элемент y покрывает элемент x , если x < y и не существует такого элемента
u , что x