Дискретная математика. Азарнова Т.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Теория множеств
19
2)
()()
;:,,,,
=×∈==×=
b
a
ccbaQ
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΖ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΑ
ΑΑ
Αρ
3)
(){}
;1:,,,
=⋅×∈===
yxyxQ
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΖ
ΖΖ
ΖΑ
ΑΑ
Α
ρ
4)
()
{
}
a
byxQ
2:,,,
=×∈===
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΖ
ΖΖ
ΖΑ
ΑΑ
Αρ
.
9.
Для каждого из следующих бинарных отношений выясните, какими
свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность) оно обладает и какими не обладает:
1)
()
{}
;:,
22
yxRRyx
=×∈=
ρ
2)
()
{}
;1:,
22
=+×∈=
yxRRyx
ρ
3)
(){}
;1:,
>⋅×∈=
yxRRyx
ρ
4)
()
{}
;:,
xyRRyx =×∈=
ρ
5)
()
{}
;:,
22
yyxxRRyx
+=+×∈=
ρ
6)
(){}
;1:,
+≤×∈=
yxyx
Ζ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΖ
Ζ
ρ
7)
(){}
;3:,
yxнаделитсяyx
+×∈=
Ζ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΖ
Ζ
ρ
8)
(){}
;:)()(,
yxyx
⊆×∈=
Ζ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
ΡΖ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
Ρ
ρ
9)
(){}
.:)()(,
∅=∩×∈=
yxyx
Ζ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
ΡΖ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
Ρ
ρ
10.
Пусть
()
{
}
2
1
:,
yxRRyx
=×∈=
ρ
;
(){}
5:,
2
≤+×∈=
yxRRyx
ρ
;
()
{
}
yxRRyx
=×∈=
3
3
:,
ρ
;
(){}
xyRRyx
sin:,
4
=×∈=
ρ
.
Найдите всевозможные композиции
.4,3,2,1,
=
ki
ki
ρ
ρ
ο
11.
Покажите, что равенство
ϕ
φ
φ
οο=
верно не для любых бинарных
отношений.
12.
Докажите, что для любого бинарного отношения
ρ
выполняются
условия:
ρ
ρ
RD =
−
1
и
ρ
ρ
DR =
−
1
.
13.
Пусть
χ
φϕ
,, - бинарные отношения, определенные на некотором
множестве. Докажите следующие утверждения:
1)
()
11
1
\\
−−
−
=
φϕφϕ
;
2)
() ()()
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
ϕ
οοο
∩⊆∩
;
3)
()
11
1
−−
−
=
ϕφφϕ
οο
;
4)
()
11
1
−−
−
∪=∪
φϕφϕ
;
5)
()()()
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
ϕ
οοο
∪=∪
.
14.
Приведите примеры бинарных отношений:
1) рефлексивных и транзитивных, но не антисимметричных;
2) транзитивных и симметричных, но не рефлексивных;
3) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных;
4) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных. 
                                           19
Теория множеств
                                                  a
 2)    Α =Ζ ×Ζ , Β =Q, ρ =((a, b ), c )∈Α ×Β : c = ;
                                                  b
 3)    Α =Ζ , Β =Q, ρ ={(x, y )∈Α ×Β : x ⋅ y =1};
                               {
  4) Α =Ζ , Β =Q, ρ = (x, y )∈Α ×Β : b =2 a .   }
9. Для каждого из следующих бинарных отношений выясните, какими
свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность) оно обладает и какими не обладает:
          {                        }
  1) ρ = (x, y )∈ R ×R : x 2 = y 2 ;
 2)    ρ ={(x, y )∈ R ×R : x   2
                                       }
                              + y 2 =1 ;
 3)    ρ ={(x, y )∈R ×R : x ⋅ y >1};
 4)    ρ ={(x, y )∈R ×R : y = x };
           {
 5) ρ = (x, y )∈ R ×R : x +x 2 = y +y 2 ;  }
 6) ρ ={(x, y )∈Ζ ×Ζ : x ≤ y +1};
 7) ρ ={(x, y )∈Ζ ×Ζ : 3 делится на x +y};
 8) ρ ={(x, y )∈Ρ ( Ζ ) ×Ρ (Ζ ) : x ⊆ y};
 9) ρ ={(x, y )∈Ρ (Ζ ) ×Ρ (Ζ ) : x ∩ y =∅}.
10. Пусть
    {                       }
ρ1 = (x, y )∈R ×R : x = y 2 ; ρ2 ={(x, y )∈ R ×R : x +y ≤5};
ρ3 ={(x, y )∈ R ×R : x
                     3
                         = y};   ρ4 ={(x, y )∈ R ×R : y =sin x}.
Найдите всевозможные композиции ρi ορk i, k =1,2,3,4.
11. Покажите, что равенство ϕ οφ =φ οϕ верно не для любых бинарных
отношений.
12. Докажите, что для любого бинарного отношения ρ выполняются
условия: D ρ−1 =R ρ и R ρ−1 =D ρ .
13. Пусть ϕ, φ, χ - бинарные отношения, определенные на некотором
множестве. Докажите следующие утверждения:
 1) (ϕ \ φ) =ϕ −1 \ φ −1 ;
           −1

 2) (ϕ ∩ φ)οχ ⊆ (ϕ οχ )∩ (φ οχ );
 3)    (ϕ οφ)−1 =φ−1 οϕ −1 ;
 4)    (ϕ ∪ φ)−1 =ϕ −1 ∪ φ −1 ;
 5)    (ϕ ∪ φ)οχ =(ϕ οχ )∪ (φ οχ ).
14. Приведите примеры бинарных отношений:
 1) рефлексивных и транзитивных, но не антисимметричных;
 2) транзитивных и симметричных, но не рефлексивных;
 3) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных;
 4) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных.

Страницы