Дискретная математика. Азарнова Т.В - 17 стр.

                                       17
Теория множеств
ρ2 ορ3 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ3 , (z , y )∈ ρ2 }=
={(x, y ): ∃z x +z ∈Ζ , z +y ≤2}=
={(x, y ): ∃z x +z =k ∈Ζ , z + y ≤2}={(x, y ): ∃k ∈Ζ k −x +y ≤2}=R ×R
ρ3 ορ2 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ2 , (z , y )∈ ρ3 }=
={(x, y ): ∃z x +z ≤2, z +y ∈Ζ }=R ×R .
    Остальные композиции постройте самостоятельно.

      Задача 10. Пусть Χ - произвольное множество, обозначим символом
Ι Χ отношение на множестве Χ вида
                     Ι Χ ={(x, y ): x = y}={(x, x ): x ∈Χ }.
Докажите, что для любого бинарного отношения ρ между элементами
множеств Α и Β выполняются равенства:
                          Ι Β ο ρ = ρ,      ρ οΙ Α =ρ .
      Решение.
Ι Β ορ ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Β (x, z )∈ ρ, (z , y )∈Ι Β }=
={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Β (x, z )∈ ρ, z = y}={(x, y )∈Α ×Β : (x, y )∈ ρ}=ρ;
ρ οΙ Α ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Α (x, z )∈Ι Α , (z , y )∈ ρ}=
={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Α x =z , (z , y )∈ ρ}={(x, y )∈Α ×Β : (x, y )∈ ρ}=ρ.

       Задача 11. Пусть ϕ, φ, χ бинарные отношения, определенные на
множестве Χ . Докажите следующие утверждения:
       если ϕ, φ - симметричные (антисимметричные) отношения, то (ϕ ∩ φ)
                                                                                −1
1)
- симметричное (антисимметричное) отношение;
2)      (ϕ \ φ)οχ ⊇ (ϕ οχ )\ (φ οχ ).
 Решение.
1. Пусть ϕ, φ - симметричные отношения, докажем, что (ϕ ∩ φ)
                                                                            −1
                                                                                 -
   симметричное отношение. Пусть
                                               (y, x )∈ϕ
    (x, y )∈(ϕ ∩ φ)−1 ⇒ (y, x )∈ϕ ∩ φ ⇒                        ⇒
                                                (y , x ) ∈  φ
                           (x, y )∈ϕ
                                       ⇒ (x, y )∈ϕ ∩ φ ⇒ (y, x )∈(ϕ ∩ φ)− ;
                                                                         1
     ⇒ симметричность ϕ ,φ 
                           (x, y )∈φ
    Пусть ϕ, φ - антисимметричные отношения, докажем, что (ϕ ∩ φ) -
                                                                             −1

антисимметричное отношение. Пусть
(x, y )∈(ϕ ∩ φ)          (y, x )∈ϕ ∩ φ (x, y ), (y, x )∈ϕ
                  −1

                    ⇒                   ⇒                        ⇒
(y, x )∈(ϕ ∩ φ)
                 −1
                          (x , y )∈ϕ ∩ φ     (x , y ), (y , x )∈φ
⇒ антисимметричность ϕ ,φ x = y .
2. Докажем требуемое включение. Пусть
(x, y )∈(ϕ οχ )\ (φ οχ ) ⇒ (x, y )∈ϕ οχ , (x, y )∉φ οχ ⇒