ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Теория множеств
17
() () (){}
=∈∈∃=
2332
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
(){}
=≤+∈+∃=
2,:,
yzzxzyx
Ζ
ΖΖ
Ζ
(){}(){}
RRyxkkyxyzkzxzyx
×=≤+−∈∃=≤+∈=+∃=
2:,2,:,
Ζ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΖ
Ζ
() () (){}
=∈∈∃=
3223
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
(){}
RRyzzxzyx
×=∈+≤+∃=
Ζ
ΖΖ
Ζ
,2:,
.
Остальные композиции постройте самостоятельно.
Задача 10
. Пусть
Χ
ΧΧ
Χ
- произвольное множество, обозначим символом
Χ
ΧΧ
Χ
Ι
ΙΙ
Ι
отношение на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
вида
(){}(){}
Χ
ΧΧ
ΧΙ
ΙΙ
Ι
Χ
ΧΧ
Χ
∈===
xxxyxyx
:,:,
.
Докажите, что для любого бинарного отношения
ρ
между элементами
множеств
Α
ΑΑ
Α
и
Β
ΒΒ
Β
выполняются равенства:
ρ
ρ
ρ
ρ
==
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
Ι
ΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
Ι
οο
,
.
Решение.
() () (){}
=∈∈∈∃×∈=
Β
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
Β
Ι
ΙΙ
ΙΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΙ
ΙΙ
Ι
yzzxzyx
,,,:,
ρ
ρ
ο
() (){ }() (){}
;,:,,,:,
ρ
ρ
ρ
=∈×∈==∈∈∃×∈=
yxyxyzzxzyx
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
() () (){}
=∈∈∈∃×∈=
ρ
ρ
yzzxzyx
,,,:,
Α
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
Ι
ΙΙ
ΙΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΙ
ΙΙ
Ι
ο
() (){ }() (){}
.,:,,,:,
ρ
ρ
ρ
=∈×∈=∈=∈∃×∈=
yxyxyzzxzyx
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Задача 11
. Пусть
χ
φϕ
,, бинарные отношения, определенные на
множестве
Χ
ΧΧ
Χ
. Докажите следующие утверждения:
1) если
φϕ
, - симметричные (антисимметричные) отношения, то
()
1
−
∩
φϕ
- симметричное (антисимметричное) отношение;
2)
() ( )()
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
ϕ
οοο
\\
⊇
.
Решение.
1. Пусть
φϕ
, - симметричные отношения, докажем, что
()
1
−
∩
φϕ
-
симметричное отношение. Пусть
()( ) ()
()
()
⇒
∈
∈
⇒∩∈⇒∩∈
−
φ
ϕ
φϕφϕ
xy
xy
xyyx
,
,
,,
1
()
()
() ()( )
;,,
,
,
1
,
−
∩∈⇒∩∈⇒
∈
∈
⇒
φϕφϕ
φ
ϕ
φϕ
xyyx
yx
yx
остьсимметричн
Пусть
φϕ
, - антисимметричные отношения, докажем, что
()
1
−
∩
φϕ
-
антисимметричное отношение. Пусть
()( )
()( )
()
()
()()
()()
⇒
∈
∈
⇒
∩∈
∩∈
⇒
∩∈
∩∈
−
−
φ
ϕ
φϕ
φϕ
φϕ
φϕ
xyyx
xyyx
yx
xy
xy
yx
,,,
,,,
,
,
,
,
1
1
yx
ричностьантисиммет
=⇒
φϕ
,
.
2. Докажем требуемое включение. Пусть
()( )( )() ()
⇒∉∈⇒∈
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
χ
ϕ
οοοο
yxyxyx
,,,\,
17 Теория множеств ρ2 ορ3 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ3 , (z , y )∈ ρ2 }= ={(x, y ): ∃z x +z ∈Ζ , z +y ≤2}= ={(x, y ): ∃z x +z =k ∈Ζ , z + y ≤2}={(x, y ): ∃k ∈Ζ k −x +y ≤2}=R ×R ρ3 ορ2 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ2 , (z , y )∈ ρ3 }= ={(x, y ): ∃z x +z ≤2, z +y ∈Ζ }=R ×R . Остальные композиции постройте самостоятельно. Задача 10. Пусть Χ - произвольное множество, обозначим символом Ι Χ отношение на множестве Χ вида Ι Χ ={(x, y ): x = y}={(x, x ): x ∈Χ }. Докажите, что для любого бинарного отношения ρ между элементами множеств Α и Β выполняются равенства: Ι Β ο ρ = ρ, ρ οΙ Α =ρ . Решение. Ι Β ορ ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Β (x, z )∈ ρ, (z , y )∈Ι Β }= ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Β (x, z )∈ ρ, z = y}={(x, y )∈Α ×Β : (x, y )∈ ρ}=ρ; ρ οΙ Α ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Α (x, z )∈Ι Α , (z , y )∈ ρ}= ={(x, y )∈Α ×Β : ∃z ∈Α x =z , (z , y )∈ ρ}={(x, y )∈Α ×Β : (x, y )∈ ρ}=ρ. Задача 11. Пусть ϕ, φ, χ бинарные отношения, определенные на множестве Χ . Докажите следующие утверждения: если ϕ, φ - симметричные (антисимметричные) отношения, то (ϕ ∩ φ) −1 1) - симметричное (антисимметричное) отношение; 2) (ϕ \ φ)οχ ⊇ (ϕ οχ )\ (φ οχ ). Решение. 1. Пусть ϕ, φ - симметричные отношения, докажем, что (ϕ ∩ φ) −1 - симметричное отношение. Пусть (y, x )∈ϕ (x, y )∈(ϕ ∩ φ)−1 ⇒ (y, x )∈ϕ ∩ φ ⇒ ⇒ (y , x ) ∈ φ (x, y )∈ϕ ⇒ (x, y )∈ϕ ∩ φ ⇒ (y, x )∈(ϕ ∩ φ)− ; 1 ⇒ симметричность ϕ ,φ (x, y )∈φ Пусть ϕ, φ - антисимметричные отношения, докажем, что (ϕ ∩ φ) - −1 антисимметричное отношение. Пусть (x, y )∈(ϕ ∩ φ) (y, x )∈ϕ ∩ φ (x, y ), (y, x )∈ϕ −1 ⇒ ⇒ ⇒ (y, x )∈(ϕ ∩ φ) −1 (x , y )∈ϕ ∩ φ (x , y ), (y , x )∈φ ⇒ антисимметричность ϕ ,φ x = y . 2. Докажем требуемое включение. Пусть (x, y )∈(ϕ οχ )\ (φ οχ ) ⇒ (x, y )∈ϕ οχ , (x, y )∉φ οχ ⇒
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »