Дискретная математика. Азарнова Т.В - 17 стр.

UptoLike

Теория множеств
17
() () (){}
==
2332
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
(){}
=++=
2,:,
yzzxzyx
Ζ
ΖΖ
Ζ
(){}(){}
RRyxkkyxyzkzxzyx
×=+=+=+=
2:,2,:,
Ζ
ΖΖ
ΖΖ
ΖΖ
Ζ
() () (){}
==
3223
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
(){}
RRyzzxzyx
×=++=
Ζ
ΖΖ
Ζ
,2:,
.
Остальные композиции постройте самостоятельно.
Задача 10
. Пусть
Χ
ΧΧ
Χ
- произвольное множество, обозначим символом
Χ
ΧΧ
Χ
Ι
ΙΙ
Ι
отношение на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
вида
(){}(){}
Χ
ΧΧ
ΧΙ
ΙΙ
Ι
Χ
ΧΧ
Χ
===
xxxyxyx
:,:,
.
Докажите, что для любого бинарного отношения
ρ
между элементами
множеств
Α
ΑΑ
Α
и
Β
ΒΒ
Β
выполняются равенства:
ρ
ρ
ρ
ρ
==
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
Ι
ΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
Ι
οο
,
.
Решение.
() () (){}
=×=
Β
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
Β
Ι
ΙΙ
ΙΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΙ
ΙΙ
Ι
yzzxzyx
,,,:,
ρ
ρ
ο
() (){ }() (){}
;,:,,,:,
ρ
ρ
ρ
=×==×=
yxyxyzzxzyx
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
() () (){}
=×=
ρ
ρ
yzzxzyx
,,,:,
Α
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
Α
Ι
ΙΙ
ΙΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΙ
ΙΙ
Ι
ο
() (){ }() (){}
.,:,,,:,
ρ
ρ
=×==×=
yxyxyzzxzyx
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
Задача 11
. Пусть
χ
φϕ
,, бинарные отношения, определенные на
множестве
Χ
ΧΧ
Χ
. Докажите следующие утверждения:
1) если
φϕ
, - симметричные (антисимметричные) отношения, то
()
1
φϕ
- симметричное (антисимметричное) отношение;
2)
() ( )()
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
ϕ
οοο
\\
.
Решение.
1. Пусть
φϕ
, - симметричные отношения, докажем, что
()
1
φϕ
-
симметричное отношение. Пусть
()( ) ()
()
()
φ
ϕ
φϕφϕ
xy
xy
xyyx
,
,
,,
1
()
()
() ()( )
;,,
,
,
1
,
φϕφϕ
φ
ϕ
φϕ
xyyx
yx
yx
остьсимметричн
Пусть
φϕ
, - антисимметричные отношения, докажем, что
()
1
φϕ
-
антисимметричное отношение. Пусть
()( )
()( )
()
()
()()
()()
φ
ϕ
φϕ
φϕ
φϕ
φϕ
xyyx
xyyx
yx
xy
xy
yx
,,,
,,,
,
,
,
,
1
1
yx
ричностьантисиммет
=
φϕ
,
.
2. Докажем требуемое включение. Пусть
()( )( )() ()
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
χ
ϕ
οοοο
yxyxyx
,,,\,