Дискретная математика. Азарнова Т.В - 15 стр.

UptoLike

Теория множеств
15
Задача 7
. Для следующего бинарного отношения, определенного на
множестве
R
, найдите область определения, область значений и нарисуйте
декартову диаграмму
()
{
}
yxyx
==
2
:,
ρ
.
Решение. В соответствии с определением
(){}
RyxyRxD ==
ρ
ρ
,:.
(){}
0,:
==
+
RyxxyR
ρ
ρ
Υ
ΥΥ
Υ
.
Декартова диаграмма для данного бинарного отношения имеет вид
y
x
Задача 8
. Для каждого из следующих бинарных отношений выясните,
какими свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность) оно обладает и какими не обладает.
1)
() ()()()(){}
3,3,2,3,3,1,1,1),1,2(,2,1
=
ρ
на множестве
{}
3,2,1
=
Χ
ΧΧ
Χ
;
2)
(){}
Ζ
ΖΖ
Ζ
=
yxyx
:,
ρ
на множестве
R
=
Χ
ΧΧ
Χ
;
3)
(){}
yxyx
32:,
==
ρ
на множестве
Ζ
ΖΖ
ΖΧ
ΧΧ
Χ
=
;
4)
(){}
yxyx
=
:,
ρ
на множестве
()
Ζ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
ΡΧ
ΧΧ
Χ
=
.
Решение.
1) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для точки
Χ
ΧΧ
Χ
2
пара
()
ρ
2,2
; не является симметричным, поскольку, например, пара
()
ρ
3,1
, а пара
()
ρ
1,3
; не является антисимметричным, поскольку,
например, пары
()
2,1 и
()
1,2 принадлежат
ρ
, но
21
; не является
транзитивным, поскольку, например
() ()
ρ
ρ
1,2,2,3
, а
()
ρ
1,3
.
2) Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой
точки
Rx
разность
Ζ
ΖΖ
Ζ
=
0
xx
, т.е.
()
Rxx
,; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары
()
yx
,
отношению
ρ
означает
Ζ
ΖΖ
Ζ
= kyx
, но тогда
Ζ
ΖΖ
Ζ
= kxy
, т.е. пара
()
xy
,
; не является