Дискретная математика. Азарнова Т.В - 15 стр.

                                      15
Теория множеств
        Задача 7. Для следующего бинарного отношения, определенного на
множестве R , найдите область определения, область значений и нарисуйте
декартову диаграмму
                                     {              }
                               ρ = (x, y ): x 2 = y .
      Решение. В соответствии с определением
                        D ρ ={x ∈R : ∃y (x, y )∈ ρ}=R .
                       R ρ ={y ∈Υ : ∃x     (x, y )∈ρ}=R+ ∪ 0   .


     Декартова диаграмма для данного бинарного отношения имеет вид




                               y



                                                        x




       Задача 8. Для каждого из следующих бинарных отношений выясните,
какими свойствами (рефлексивность, симметричность, антисимметричность,
транзитивность) оно обладает и какими не обладает.
1)     ρ ={(1,2 ), (2,1), (1,1), (1,3), (3,2 ), (3,3)} на множестве Χ ={1,2,3};
2)     ρ ={(x, y ): x −y ∈Ζ } на множестве Χ =R ;
3)     ρ ={(x, y ): 2 x =3 y} на множестве Χ =Ζ ;
4)     ρ ={(x, y ): x ⊆ y} на множестве Χ =Ρ (Ζ ).
Решение.
1)    Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для точки
2 ∈Χ пара (2,2 )∉ ρ ; не является симметричным, поскольку, например, пара
(1,3)∈ ρ , а пара (3,1)∉ ρ ; не является антисимметричным, поскольку,
например, пары (1,2) и (2,1) принадлежат ρ , но 1 ≠2 ; не является
транзитивным, поскольку, например (3,2 )∈ ρ, (2,1)∈ ρ , а (3,1)∉ ρ .
2)    Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой
точки x ∈R разность x −x =0 ∈Ζ , т.е. (x, x )∈R ; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары (x, y ) отношению ρ означает
x −y =k ∈Ζ , но тогда y −x =−k ∈Ζ , т.е. пара (y, x )∈ ρ ; не является