Дискретная математика. Азарнова Т.В - 16 стр.

                                          16
Теория множеств
антисиммеричным, поскольку, например, пары (1.2,3.2 )∈ ρ и (3.2,1.2 )∈ ρ ,
но 3.2 ≠1.2 ; является транзитивным, поскольку для любых x, y, z ∈R
принадлежность пар (x, y ) и (y, z ) отношению ρ означает x −y =k ∈Ζ и
 y −z =n ∈Ζ , но тогда x −z =k +n ∈Ζ , т.е. (x, z )∈ ρ .
3)       Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех пар
(x, x ), x ∈Ζ только пара (0,0)∈ ρ , ведь для всех остальных x ∈Ζ не
выполнено равенство 2 x =3x ; не является симметричным, поскольку,
например, пара (3,2 )∈ ρ ( 2 ⋅ 3 =3 ⋅ 2 ), а пара (2,3)∉ ρ ( 2 ⋅ 2 ≠3 ⋅ 3 ); является
антисимметричным, поскольку для любых пар (x, y )∈ ρ, (y , x )∈ ρ
одновременно выполняются равенства 2 x =3 y и 2 y =3x , т.е. 9 x =4 x и
4 y =9 y , но это может быть только в том случае, если x =y =0 ; не является
транзитивным, поскольку, например, пара (9,6 )∈ ρ ( 2 ⋅ 9 =3 ⋅ 6 ), пара
(6,4)∈ ρ ( 2 ⋅ 6 =3 ⋅ 4 ), но пара (9,4)∉ ρ ( 2 ⋅ 9 ≠3 ⋅ 4 ).
4)       Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для
∅ ∈Ρ (Ζ ) пересечение ∅ ∩ ∅ =∅ , т.е. (∅, ∅)∉ ρ ; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары (x, y ) отношению ρ означает
 x ∩ y ≠∅ , но тогда y ∩ x ≠∅ , т.е. пара (y, x )∈ ρ ; не является
транзитивным,           поскольку,        например,           пара    ({1,2}{
                                                                            , 2,3})∈ ρ
( {1,2}∩ {2,3}={2}≠∅ ) и пара ({2,3}{    , 3,6,7})∈ ρ ( {2,3}∩ {3,6,7}={} 3 ≠∅ ), но
пара ({1,2}{, 3,6,7})∉ ρ , так как {1,2}∩ {3,6,7}=∅ .

     Задача 9. Пусть на множестве R заданы следующие бинарные
отношения:
                {           }
        ρ1 = (x, y ): x = y 2 ; ρ2 ={(x, y ): x +y ≤2}; ρ3 ={(x, y ): x +y ∈Ζ }
Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные
композиции этих бинарных отношений.
      Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
                            {              }
ρ1 ={(x, y ): (y , x )∈ ρ1 }= (x, y ): y =x 2 ;
  −1


ρ2−1 ={(x, y ): (y , x )∈ ρ2 }={(x, y ): y +x ≤2}=ρ2 ;
ρ3−1 ={(x, y ): (y, x )∈ ρ3 }={(x, y ): y +x ∈Ζ }=ρ3 .
В качестве примера рассмотрим некоторые композиции рассматриваемых
бинарных отношений:
ρ1 ορ2 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ2 , (z , y )∈ ρ1}=
  {                             }{
= (x, y ): ∃z x +z ≤2, z = y 2 = (x, y ): x +y 2 ≤2 ;    }
ρ2 ορ1 ={(x, y ): ∃z (x, z )∈ ρ1 , (z , y )∈ ρ2 }=
                                               x +y ≤2      
 {
= (x, y ): ∃z  x =z , z +y ≤2}=(x, y ): x ≥0, 
                    2          
                                                            =
                               
                                              
                                               −  x + y ≤2 
                                                            
={(x, y ): x ≥0, − x +y ≤2};