Дискретная математика. Азарнова Т.В - 16 стр.

UptoLike

Теория множеств
16
антисиммеричным, поскольку, например, пары
()
ρ
2.3,2.1
и
()
ρ
2.1,2.3
,
но 2.12.3
; является транзитивным, поскольку для любых
Rzyx
,,
принадлежность пар
()
yx
,
и
()
zy
,
отношению
ρ
означает
Ζ
ΖΖ
Ζ
= kyx
и
Ζ
ΖΖ
Ζ
= nzy
, но тогда
Ζ
ΖΖ
Ζ
+= nkzx
, т.е.
()
ρ
zx
,
.
3) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех пар
()
Ζ
ΖΖ
Ζ
xxx
,,
только пара
()
ρ
0,0
, ведь для всех остальных
Ζ
ΖΖ
Ζ
x
не
выполнено равенство
xx
32
=
; не является симметричным, поскольку,
например, пара
()
ρ
2,3
(2332
=
), а пара
()
ρ
3,2
(3322
); является
антисимметричным, поскольку для любых пар
() ()
ρ
ρ
xyyx
,,,
одновременно выполняются равенства
yx
32
=
и
xy
32
=
, т.е.
xx
49
=
и
yy
94
=
, но это может быть только в том случае, если 0
== yx
; не является
транзитивным, поскольку, например, пара
()
ρ
6,9
(6392
=
), пара
()
ρ
4,6
(4362
=
), но пара
()
ρ
4,9
(4392
).
4) Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для
()
Ζ
ΖΖ
ΖΡ
ΡΡ
Ρ
пересечение
=
, т.е.
()
ρ
,
; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары
()
yx
,
отношению
ρ
означает
yx
, но тогда
xy
, т.е. пара
()
xy
,
; не является
транзитивным, поскольку, например, пара
{}{}()
ρ
3,2,2,1
(
{}{}{}
=
23,22,1 ) и пара
{}{ }()
ρ
7,6,3,3,2
(
{}{ }{}
=
37,6,33,2), но
пара
{}{ }()
ρ
7,6,3,2,1
, так как
{}{ }
=
7,6,32,1 .
Задача 9
. Пусть на множестве
R
заданы следующие бинарные
отношения:
()
{}
;:,
2
1
yxyx
==
ρ
(){}
;2:,
2
+=
yxyx
ρ
(){}
Ζ
ΖΖ
Ζ
+=
yxyx
:,
3
ρ
Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные
композиции этих бинарных отношений.
Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
()(){}()
{
}
2
1
1
1
:,,:,
xyyxxyyx
===
ρρ
;
()(){}(){}
22
1
2
2:,,:,
ρρρ
=+==
xyyxxyyx
;
()(){}(){}
33
1
3
:,,:,
ρρρ
=+==
Ζ
ΖΖ
Ζ
xyyxxyyx
.
В качестве примера рассмотрим некоторые композиции рассматриваемых
бинарных отношений:
() () (){}
==
1221
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
()
{}
()
{}
2:,,2:,
22
+==+=
yxyxyzzxzyx
;
() () (){}
==
2112
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyx
ο
()
{}
()
=
+
+
=+==
2
2
,0:,2,:,
2
yx
yx
xyxyzzxzyx
()
{
}
2,0:,
+= yxxyx
;