Дискретная математика. Азарнова Т.В - 14 стр.

UptoLike

Теория множеств
14
Задача 4
. Докажите следующее равенство:
()( )()()
Μ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
××=×
.
Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами
множеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
()()( ) ()( )
×
Μ
ΜΜ
ΜΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
yxyx
,,
Μ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
yxyxyyxx
,,,,,,
() () ()( )( )
Μ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
ΜΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
××××
yxyxyx
,,,,
.
Задача 5.
Докажите, что для любых непустых множеств
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
,, из
равенства
()()
Κ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
×=××
следует, что
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
==
.
Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства
Κ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
Α
=
и
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
Β
=
.
Для произвольных
Α
ΑΑ
Α
x
и
Β
ΒΒ
Β
y
() ()
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
ΚΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
××
,,,,
yxyxyx
.
С другой стороны, для произвольного
Κ
ΚΚ
Κ
x
() ()
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΚ
ΚΚ
Κ
×× xxxx
,, или
()
×
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
Β
xx
,
Α
ΑΑ
Α
x
и
Α
ΑΑ
ΑΚ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
Β
x
и
Β
ΒΒ
ΒΚ
ΚΚ
Κ
.
Таким образом,
Κ
ΚΚ
ΚΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
==
.
Задача 6
. На множестве
{}
15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5
=
Α
ΑΑ
Α
задано
бинарное отношение
(){}
yнаделитсяxyx
:,
=
ρ
. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
Решение. Расположим на плоскости точки множества
Α
ΑΑ
Α
. Точки
Α
ΑΑ
Α
yx
,, для которых пара
()
ρ
yx
,
, соединим стрелкой, направленной от
x
к
y
. Пары
()
ρ
xx
,
изобразим петлей вокруг точки
x
. Результатом такого
построения будет граф
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14