Дискретная математика. Азарнова Т.В - 14 стр.

                                    14
Теория множеств



        Задача 4. Докажите следующее равенство:
                    (Α ∩ Β )×(Κ ∩ Μ ) =(Α ×Κ )∩ (Β ×Μ ).
        Решение. Равенство двух множеств мы докажем с помощью двух
включений, объединив их одной записью. Заметим, что элементами
множеств в данном случае являются упорядоченные пары точек. Итак, пусть
(x, y )∈(Α ∩ Β )×(Κ ∩ Μ ) ⇔ x ∈(Α ∩ Β ), y ∈(Κ ∩ Μ ) ⇔
⇔ x ∈Α , x ∈Β , y ∈Κ , y ∈Μ ⇔ x ∈Α , y ∈Κ , x ∈Β , y ∈Μ ⇔
⇔ (x, y )∈Α ×Κ , (x, y )∈Β ×Μ ⇔ (x, y )∈(Α ×Κ )∩ (Β ×Μ ).

        Задача 5. Докажите, что для любых непустых множеств Α , Β , Κ из
равенства (Α ×Β )∪ (Β ×Α ) =Κ ×Κ следует, что Α =Β =Κ .
        Решение. Для доказательства данного утверждения установим два
равенства Α =Κ и Β =Κ .
   Для произвольных x ∈Α и y ∈Β
(x, y )∈Α ×Β ⇒ (x, y )∈Κ ×Κ ⇒ x ∈Κ , y ∈Κ ⇒ Α ⊆ Κ , Β ⊆ Κ .
   С другой стороны, для произвольного x ∈Κ
(x, x )∈Κ ×Κ ⇒ (x, x )∈Α ×Β или (x, x )∈Β ×Α ⇒
⇒ x ∈Α и x ∈Β ⇒ Κ ⊆ Α и Κ ⊆ Β .
  Таким образом, Α =Β =Κ .

      Задача 6.       На множестве Α ={5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} задано
бинарное отношение ρ ={(x, y ): x делится на y}. Нарисуйте граф данного
бинарного отношения.
      Решение. Расположим на плоскости точки множества Α . Точки
x, y ∈Α , для которых пара (x, y )∈ ρ , соединим стрелкой, направленной от
x к y . Пары (x, x )∈ ρ изобразим петлей вокруг точки x . Результатом такого
построения будет граф




          5            6     7           8        9




          10      11        12        13         14