Дискретная математика. Азарнова Т.В - 12 стр.

UptoLike

Теория множеств
12
Бинарное отношение
ρ
на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
называется рефлексивным,
если для любого
Χ
ΧΧ
Χ
x
пара
()
ρ
xx
,
. Если
Χ
ΧΧ
Χ
- конечное множество, то
рефлексивность бинарного отношения
ρ
означает, что на графе данного
бинарного отношения вокруг каждой точки
x
из
Χ
ΧΧ
Χ
есть петля. Если
R=
Χ
ΧΧ
Χ
,
то рефлексивность бинарного отношения
ρ
с точки зрения декартовой
диаграммы означает, что в число изображенных точек войдут все точки
прямой
xxy =
)(.
Бинарное отношение
ρ
на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
называется симметричным, если
для любых
Χ
ΧΧ
Χ
yx
, из принадлежности пары
()
yx
,
отношению
ρ
следует
принадлежность этому отношению также пары
()
xy
,
. Если
Χ
ΧΧ
Χ
- конечное
множество, то симметричность бинарного отношения
ρ
означает, что на
графе данного бинарного отношения все присутствующие стрелки
двусторонние. Если
R=
Χ
ΧΧ
Χ
, то симметричность бинарного отношения
ρ
с
точки зрения декартовой диаграммы означает, что изображенное множество
симметрично относительно прямой
xxy =
)(.
Бинарное отношение
ρ
на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
называется
антисимметричным, если для любых
Χ
ΧΧ
Χ
yx
, из принадлежности пар
()
yx
,
и
()
xy
,
отношению
ρ
следует
yx =
. Если
Χ
ΧΧ
Χ
- конечное множество, то
антисимметричность бинарного отношения
ρ
означает, что на графе данного
бинарного отношения все присутствующие стрелки односторонние.
Бинарное отношение
ρ
на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
называется транзитивным,
если для любых
Χ
ΧΧ
Χ
zyx
,, из принадлежности пар
()
yx
,
и
()
zy
,
отношению
ρ
следует принадлежность этому отношению также пары
()
zx
,.
Обратным отношением для
ρ
называется отношение
()(){
}
ρρ
=
xyyx
,:,
1
.
Композицией отношений
1
ρ
и
2
ρ
называется отношение
() () (){
}
2112
ρ
ρ
ρ
ρ
=
yzzxzyx
,,,:,
ο
.
Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
1.
()
ρρ
=
1
1
;
2.
()
1
2
1
1
1
12
=
ρρρρ
οο
.
Задача 1
. Перечислите элементы множеств
Α
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
××
,:
1)
{} { }
5,4,3,2,1
==
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
;
2)
{}
4,3,2,1,
==
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
.
Решение. По определению
(){}
Β
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
ΑΒ
ΒΒ
ΒΑ
ΑΑ
Α
=×
baba
,:,
.