Дискретная математика. Азарнова Т.В - 12 стр.

                                          12
Теория множеств
      Бинарное отношение ρ на множестве Χ называется рефлексивным,
если для любого x ∈Χ пара (x, x )∈ ρ . Если Χ - конечное множество, то
рефлексивность бинарного отношения ρ означает, что на графе данного
бинарного отношения вокруг каждой точки x из Χ есть петля. Если Χ =R ,
то рефлексивность бинарного отношения ρ с точки зрения декартовой
диаграммы означает, что в число изображенных точек войдут все точки
прямой y ( x) =x .
Бинарное отношение ρ на множестве Χ называется симметричным, если
для любых x, y ∈Χ из принадлежности пары (x, y ) отношению ρ следует
принадлежность этому отношению также пары (y, x ). Если Χ - конечное
множество, то симметричность бинарного отношения ρ означает, что на
графе данного бинарного отношения все присутствующие стрелки
двусторонние. Если Χ =R , то симметричность бинарного отношения ρ с
точки зрения декартовой диаграммы означает, что изображенное множество
симметрично относительно прямой y ( x) =x .
      Бинарное     отношение   ρ    на      множестве     Χ        называется
антисимметричным, если для любых x, y ∈Χ из принадлежности пар (x, y ) и
(y, x ) отношению ρ следует x = y . Если Χ - конечное множество, то
антисимметричность бинарного отношения ρ означает, что на графе данного
бинарного отношения все присутствующие стрелки односторонние.
      Бинарное отношение ρ на множестве Χ называется транзитивным,
если для любых x, y, z ∈Χ из принадлежности пар (x, y ) и (y, z ) отношению
ρ следует принадлежность этому отношению также пары (x, z ).
      Обратным отношением для ρ называется отношение
                            ρ −1 ={(x, y ): (y , x )∈ρ}.
     Композицией отношений ρ1 и ρ2 называется отношение
                  ρ2 ο ρ1 ={(x , y ): ∃z (x , z )∈ρ1 , (z , y )∈ ρ2 }.

     Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:
       ( )
     1. ρ −1
               −1
                    =ρ ;
     2. (ρ2 ο ρ1 ) =ρ1−1 ο ρ2−1 .
                     −1



    Задача 1. Перечислите элементы множеств Α ×Β , Β ×Α :
1)   Α ={1,2}, Β ={3,4,5};
2)   Α =∅, Β ={1,2,3,4}.
Решение. По определению
                       Α ×Β ={(a, b ): a ∈Α , b ∈Β }.