Дискретная математика. Азарнова Т.В - 11 стр.

UptoLike

Теория множеств
11
1) последовательности непустых множеств
,...,,...,,
21
n
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
такой, что
...
21
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
и
Ι
Ν
ΝΝ
Ν
Χ
ΧΧ
Χ
=
n
n
;
2) последовательности множеств, отличных от универсального множества
Λ
ΛΛ
Λ
, такой, что
...
21
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
и
Λ
ΛΛ
ΛΧ
ΧΧ
Χ
Ν
ΝΝ
Ν
=
Υ
n
n
;
3) семейства множеств такого, что пересечение любого конечного числа
множеств из этого семейства непусто, а пересечение всех множеств пусто.
§ 2. Прямое произведение множеств.
Бинарные отношения
Произведением (или декартовым произведением)
21
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
×
двух
непустых множеств
1
Χ
ΧΧ
Χ
и
2
Χ
ΧΧ
Χ
будем называть множество упорядоченных
пар
()
21
xx
,
, где
2211
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
xx
,
. Это понятие выросло из понятия
декартовой системы координат. Данное понятие можно обобщить и на
случай
n
множеств. Если
n
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
,...,,
21
-
n
непустых множеств, то их
произведение состоит из всевозможных упорядоченных наборов
()
n
xxx
,...,,
21
,
nkx
kk
,...,,
1
=
Χ
ΧΧ
Χ
элементов этих множеств. Если множества
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
====
n
...
21
, то их произведение
n
Χ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
ΧΧ
Χ
,...,,
21
обозначается
n
Χ
ΧΧ
Χ
. Так, символом
n
R
обозначается множество упорядоченных векторов
n
вещественных чисел.
Любое подмножество из произведения
Υ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
Χ
×
называется бинарным
отношением. Если
Υ
ΥΥ
ΥΧ
ΧΧ
Χ
=
, то бинарное отношение называется бинарным
отношением на множестве
Χ
ΧΧ
Χ
. Бинарные отношения обозначаются буквами
,...,, f
ρ
φ
Если пара
()
yx
,
принадлежит бинарному отношению
ρ
, то пишут
()
ρ
yx
,
или
yx
ρ
.
Для задания бинарного отношения
ρ
используют те же методы, что и
для произвольных множеств, кроме того, бинарное отношение, заданное на
конечном множестве
Χ
ΧΧ
Χ
, можно задать в виде графа, а бинарное отношение
на множестве
R
можно задать в виде декартовой диаграммы. Под графом
бинарного отношения мы понимаем схему, в которой элементы множества
Χ
ΧΧ
Χ
изображаются точками на плоскости, элементы
Χ
ΧΧ
Χ
yx
,, такие, что пара
()
ρ
yx
,
соединяются стрелкой, направленной от
x
к
y
, пары
()
ρ
xx
,
изображаются петлей вокруг точки
x
. Под декартовой диаграммой
понимают изображение пар
()
ρ
yx
,
в декартовой прямоугольной системе
координат.
Областью определения бинарного отношения
ρ
называется множество
(){}
ρ
ρ
= yxyxD ,:
Χ
ΧΧ
Χ
.
Областью значений бинарного отношения
ρ
называется множество
(){}
ρ
ρ
= yxxyR ,:
Υ
ΥΥ
Υ
.