Дискретная математика. Азарнова Т.В - 18 стр.

                                            18
Теория множеств
        (x, z )∈χ
  ∃ z                          (x, z )∈χ
        (z , y )∈ϕ                               (x, z )∈χ
⇒                    ⇒ ∃z       (z , y )∈ϕ ⇒ ∃z                  ⇒
  ∀z    (x , z )∉ χ            (z , y )∉φ        (z , y )∈ϕ \ φ
        (z , y )∉φ             
        
⇒ (x, y )∈(ϕ \ φ)οχ


                     Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть Χ ={∗,×}. Перечислите все элементы множеств Χ 3 , Χ 4 .
2. Найдите геометрическую интерпретацию множества Α ×Β , где Α -
множество точек отрезка [0,1], а Β - множество точек квадрата с вершинами
в точках (0,0 ), (0,1), (1,0 ), (1,1).
3. Доказать, что (Α ×Β )∪ (Κ ×Μ ) ⊆ (Α ∪ Κ )×(Β ∪ Μ ). При каких
Α , Β , Κ , Μ включение можно заменить равенством.
4. Доказать, что для произвольных множеств Α , Β , Κ :
  1) (Α ∪ Β )×Κ =(Α ×Κ )∪ (Β ×Κ );
  2) (Α \ Β )×Κ =(Α ×Κ ) \ (Β ×Κ );
  3) Α ×(Β \ Κ ) =(Α ×Β ) \ (Α ×Κ ).
5. Пусть Α ≠∅, Β ≠∅ и (Α ×Β )∪ (Β ×Α ) =Κ ×Μ . Доказать, что в этом
случае Α =Β =Κ =Μ .
6. Перечислите все элементы бинарного отношения ρ и нарисуйте его граф:
  1) ρ ={(x, y ): x < y} на множестве Χ ={1,2,3,4,5};
  2) ρ ={(x, y ): y =x +1}на множестве Χ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
7. Для каждого из следующих бинарных отношений, определенных на
множестве R , найдите область определения, область значений и нарисуйте
декартову диаграмму:
  1) ρ ={(x, y ): x ≤ y};
  2) ρ ={(x, y ): x = y};
 3)       {
       ρ = (x, y ): x 2 +4 y 2 ≤1 ;}
  4)   ρ ={(x, y ): x
                   2
                     =y 2 ;  }
  5) ρ ={(x, y ): y =log 2 x};
  6) ρ ={(x, y ): y =sin x}.
8. Даны бинарные отношения ρ между элементами множеств Α и Β ,
найдите область определения и область значений для данных бинарных
отношений:
  1) Α ={1,2,3,4,5}, Β ={{}{
                           1 , 1,2}{
                                   , 2,5}{}
                                         , 3 }, ρ ={(x, y )∈Α ×Β : x ∈ y};