Дискретная математика. Азарнова Т.В - 25 стр.

UptoLike

Теория множеств
25
Задачи для самостоятельного решения
1. Докажите, что каждое из следующих отношений является отношением
эквивалентности, и найдите классы эквивалентности:
1)
() ()()
{}
yxyx =×=
:,
Α
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
Ρ
ρ
,
{}
3,2,1
=
Α
ΑΑ
Α
;
2)
()()()
{
}
cbdadcba
+=+×=
:,,,
22
Ν
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
Νρ
;
3)
()
{}
;:,
22
yxRRyx
=×=
ρ
4)
() ()(){}
множествоконечноеyxyx
+×=
:,
Α
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
ΡΑ
ΑΑ
ΑΡ
ΡΡ
Ρ
ρ
,
Α
ΑΑ
Α
;
2. На множестве
Ν
ΝΝ
Ν
задано бинарное отношение по следующему правилу:
()
ρ
yx
,
тогда и только тогда, когда последняя цифра в десятичной записи
числа
x
совпадает с последней цифрой в десятичной записи числа
y
.
Докажите, что данное отношение является отношением эквивалентности.
Сколько элементов в фактор-множестве
ρ
/
Ν
ΝΝ
Ν
?
3. На
R
задано бинарное отношение
()
{
}
yyxxRRyx
+=+×=
22
:,
ρ
.
Докажите, что
ρ
- отношение эквивалентности. Сколько элементов может
содержать класс эквивалентности? Существует ли класс эквивалентности,
состоящий из одного элемента?
4. Покажите, что пересечение отношений эквивалентности, определенных на
некотором множестве
Α
ΑΑ
Α
, является отношением эквивалентности.
5. Докажите, что если
ρ
- отношение эквивалентности, то
1
ρ
- также
отношение эквивалентности.
6. Какие из следующих подмножеств множества
()
R
Ρ
ΡΡ
Ρ
образуют разбиение
R
? Для каждого разбиения задайте соответствующее отношение
эквивалентности:
1)
{}{}{}
;0:,0:
<> xRxxRx
2)
{}{}{}{}
;0,0:,0:
<> xRxxRx
3)
(){}
;:1,
Ζ
ΖΖ
Ζ
+ nnn
4)
[]
{}
;:1,
Ζ
ΖΖ
Ζ
+ nnn
5)
(
]
{}
Ζ
ΖΖ
Ζ
+ nnn
:1,.
7. Пусть
{}{}
nn
Β
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΒ
ΒΜ
ΜΜ
ΜΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΑ
ΑΜ
ΜΜ
Μ
,...,,,,...,,
212211
==
- два разбиения
множества
Κ
ΚΚ
Κ
. Докажите, что множество всех непустых подмножеств вида