Дискретная математика. Азарнова Т.В - 25 стр.

                                            25
Теория множеств




                        Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите, что каждое из следующих отношений является отношением
эквивалентности, и найдите классы эквивалентности:
  1) ρ ={(x, y )∈Ρ (Α )×Ρ (Α ): x = y }, Α ={1,2,3};

 2)       {                                        }
       ρ = ((a, b ), (c, d ))∈Ν 2 ×Ν 2 : a +d =b +c ;
 3)    ρ ={(x, y )∈ R ×R : x   2
                                       }
                                   =y 2 ;
 4)    ρ ={(x, y )∈Ρ (Α )×Ρ (Α ): x +y −конечное множество}, ∀Α ;
2. На множестве Ν задано бинарное отношение по следующему правилу:
(x, y )∈ ρ тогда и только тогда, когда последняя цифра в десятичной записи
числа x совпадает с последней цифрой в десятичной записи числа y .
Докажите, что данное отношение является отношением эквивалентности.
Сколько элементов в фактор-множестве Ν / ρ ?
                                                    {
3. На R задано бинарное отношение ρ = (x, y )∈R ×R : x 2 +x = y 2 +y .       }
Докажите, что ρ - отношение эквивалентности. Сколько элементов может
содержать класс эквивалентности? Существует ли класс эквивалентности,
состоящий из одного элемента?
4. Покажите, что пересечение отношений эквивалентности, определенных на
некотором множестве Α , является отношением эквивалентности.
5. Докажите, что если ρ - отношение эквивалентности, то ρ −1 - также
отношение эквивалентности.
6. Какие из следующих подмножеств множества Ρ (R ) образуют разбиение
R ? Для каждого разбиения задайте соответствующее отношение
эквивалентности:

 1)   {{x ∈R : x >0}{
                    , x ∈R : x <0}};

 2)    {{x ∈R : x >0}{
                     , x ∈R : x <0}{}
                                   , 0 };

 3)    {(n, n +1): n ∈Ζ };
 4)    {[n, n +1]: n ∈Ζ };
 5)    {(n, n +1]: n ∈Ζ }.
7. Пусть Μ 1 ={Α1 , Α 2 ,..., Α n }, Μ 2 ={Β1 , Β 2 ,..., Β n } - два разбиения
множества Κ . Докажите, что множество всех непустых подмножеств вида