ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Комбинаторика
35
Решение. Обозначим количество студентов в данной группе
Ν
ΝΝ
Ν
и
введем три свойства для студентов данной группы:
1
α
- знать английский
язык,
2
α
- знать французский язык,
3
α
- знать немецкий язык. Тогда
()
,15
1
=
αΝ
ΝΝ
Ν
()
,10
2
=
αΝ
ΝΝ
Ν
()
,6
3
=
αΝ
ΝΝ
Ν
()
,5,
21
=
ααΝ
ΝΝ
Ν
()
,3,
31
=
ααΝ
ΝΝ
Ν
()
,3,
32
=
ααΝ
ΝΝ
Ν
()
2,,
321
=
αααΝ
ΝΝ
Ν
. По формуле включений и исключений
находим число студентов в данной группе
0
Ν
ΝΝ
Ν
, которые не знают ни одного
языка
() () () ( ) ( ) ( )
−+++−−−=
3231213210
,,,
αααααααααΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
ΝΝ
Ν
()
823356101530,,
321
=−+++−−−=−
αααΝ
ΝΝ
Ν
.
Задача 2.
Найти количество трехзначных чисел, в которых сумма цифр
равняется 20.
Решение
.
Обозначим через
321
,,
xxx
соответственно первую, вторую и
третью цифры в произвольном трехзначном числе
32
2
1
1010
xxxa
+⋅+⋅=
.
Наша задача состоит в нахождении количества целочисленных наборов
()
321
,,
xxx
, для которых
20
321
=++
xxx
,
90,90,91
321
≤≤≤≤≤≤
xxx
.
Обозначим через
Χ
ΧΧ
Χ
множество наборов
()
321
,,
xxx
, у которых
20
321
=++
xxx
,
0,0,1
321
≥≥≥
xxx
,
и для элементов данного множества введем три свойства:
1
α
-
10
1
≥
x
,
2
α
-
10
2
≥
x
,
3
α
-
10
3
≥
x
. Таким образом, в задаче требуется найти множество
наборов, для которых не выполнено ни одно из этих свойств.
Вначале найдем количество элементов
Ν
ΝΝ
Ν
в множестве
Χ
ΧΧ
Χ
. Если
ввести переменные
332211
,,1
xyxyxy
==−=
, то число элементов в
множестве
Χ
ΧΧ
Χ
можно найти как число целочисленных наборов
()
321
,,
yyy
таких, что
19
321
=++
yyy
,
0,0,0
321
≥≥≥
yyy
.
Число таких наборов находится по формуле для числа сочетаний с
повторениями из 3 по 19, т.е.
2102110
!2!19
!21
19
1319
19
3
=⋅====
−+
CC
Ν
ΝΝ
Ν
.
Число
()
1
αΝ
ΝΝ
Ν
совпадает с числом наборов
()
321
,,
xxx
, для которых
20
321
=++
xxx
,
0,0,10
321
≥≥≥
xxx
,
число
()
2
αΝ
ΝΝ
Ν
- с числом наборов
()
321
,,
xxx
, для которых
35 Комбинаторика Решение. Обозначим количество студентов в данной группе Ν и введем три свойства для студентов данной группы: α1 - знать английский язык, α 2 - знать французский язык, α 3 - знать немецкий язык. Тогда Ν (α1 ) =15, Ν (α 2 ) =10, Ν (α 3 ) =6, Ν (α1 , α 2 ) =5, Ν (α1 , α 3 ) =3, Ν (α 2 , α 3 ) =3, Ν (α1 , α 2 , α 3 ) =2 . По формуле включений и исключений находим число студентов в данной группе Ν 0 , которые не знают ни одного языка Ν 0 =Ν −Ν (α1 ) −Ν (α 2 ) −Ν (α 3 ) +Ν (α1 , α 2 ) +Ν (α1 , α 3 ) +Ν (α 2 , α 3 ) − −Ν (α1 , α 2 , α 3 ) =30 −15 −10 −6 +5 +3 +3 −2 =8 . Задача 2. Найти количество трехзначных чисел, в которых сумма цифр равняется 20. Решение. Обозначим через x1 , x 2 , x 3 соответственно первую, вторую и третью цифры в произвольном трехзначном числе a = x1 ⋅10 2 +x 2 ⋅10 +x 3 . Наша задача состоит в нахождении количества целочисленных наборов (x1 , x 2 , x3 ), для которых x1 +x 2 +x 3 =20 , 1 ≤ x1 ≤9, 0 ≤ x 2 ≤9, 0 ≤ x 3 ≤9 . Обозначим через Χ множество наборов (x1 , x 2 , x 3 ), у которых x1 +x 2 +x 3 =20 , x1 ≥1, x 2 ≥0, x3 ≥0 , и для элементов данного множества введем три свойства: α1 - x1 ≥10 , α 2 - x 2 ≥10 , α 3 - x 3 ≥10 . Таким образом, в задаче требуется найти множество наборов, для которых не выполнено ни одно из этих свойств. Вначале найдем количество элементов Ν в множестве Χ . Если ввести переменные y1 = x1 −1, y 2 = x 2 , y 3 = x3 , то число элементов в множестве Χ можно найти как число целочисленных наборов (y1 , y 2 , y 3 ) таких, что y1 +y 2 +y 3 =19 , y1 ≥0, y 2 ≥0, y 3 ≥0 . Число таких наборов находится по формуле для числа сочетаний с повторениями из 3 по 19, т.е. 19 19 21! Ν =C 3 =C19 +3−1 = =10 ⋅ 21 =210 . 19!2! Число Ν (α1 ) совпадает с числом наборов (x1 , x 2 , x 3 ), для которых x1 +x 2 +x 3 =20 , x1 ≥10, x 2 ≥0, x3 ≥0 , число Ν (α 2 ) - с числом наборов (x1 , x 2 , x 3 ), для которых
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »