Дискретная математика. Азарнова Т.В - 47 стр.

UptoLike

Рекуррентные соотношения
47
§ 3. Случай равных корней характеристического уравнения
Остановимся теперь на случае, когда оба корня характеристического
уравнения совпадают:
21
rr
=
. В этом случае выражение
1
22
1
11
+
nn
rCrC
уже
не будет общим решением. Ведь из-за того, что
21
rr
=
, это решение можно
записать в виде
() ( )
.CrrCCnf
nn
1
1
1
121
=
=+=
У нас остается только одно произвольное постоянное
C
, и выбрать его так,
чтобы удовлетворить двум начальным условиям
() ( )
bf,af
==
21
, вообще
говоря, невозможно.
Поэтому надо найти какое-нибудь второе решение отличное от
()
1
11
=
n
rnf
. Оказывается, таким решением является
()
1
12
=
n
nrnf
. В самом
деле, если квадратное уравнение
21
2
arar
+=
имеет два совпадающих корня
21
rr
=
, то по теореме Виета
2
1211
2
ra,ra
==
. Поэтому наше уравнение запи-
сывается так:
2
11
2
2
rrrr
=
.
Тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид:
() () ()
nfrnfrnf
2
11
122
+=+
. (4)
Проверим, что
()
1
12
=
n
nrnf
действительно является его решением. Имеем
()()
1
12
22
+
+=+
n
rnnf
, а
()()
n
rnnf
12
11
+=+
. Подставляя эти значения в соот-
ношение (4), получаем очевидное тождество
() ()
1
1
1
1
1
1
122
+++
+=+
nnn
nrrnrn
.
Значит,
1
1
n
nr
решение нашего соотношения.
Теперь уже знаем два решения
()
1
11
=
n
rnf
и
()
1
12
=
n
nrnf
заданного
соотношения. Его общее решение пишется так:
() ( )
nCCrnrCrCnf
n
r
nn
21
11
12
1
11
+=+=
.
Путем подбора
1
C
и
2
C
можно удовлетворить любым начальным условиям.
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициента-
ми, порядок которых больше двух, решаются таким же способом. Пусть со-
отношение имеет вид
() ( ) ()
nfaknfaknf
k
+++=+
Κ
1
1
.
Составляем характеристическое уравнение
k
kk
arar
++=
Κ
1
1
.
Если все корни
k
r,,r
Κ
1
этого алгебраического уравнение
k
-й степени раз-
личны, то общее решение имеет вид
()
11
22
1
11
+++=
n
kk
nn
rCrCrCnf
Κ
.
Если же, например,
s
rrr
===
Κ
21
, то этому корню соответствуют решения