ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Рекуррентные соотношения
49
g)
()()()()
;nfnfnfnf
013233
=++++++
h)
()()
.nfnf
044
=++
4. Найти
()
nf
, зная рекуррентное соотношение и начальные члены:
a)
()()() () ()
,f,f,nfnfnf
721106152
−===++−+
b)
()()() () ()
,f,f,nfnfnf
422104142
===++−+
c)
()()() () ()
.f,f,nfnfnf
2
1
2
4
1
1012
−=−==++++
d)
()()()() ()
;f;f;nfnfnf
4221122
==−+=+
e)
()()()() ()
;f;f;nfnfnf
52115142
==++=+
f)
()()()() ()
;f;f;nfnfnf
32019162
==−+=+
g)
()()()() ()
;f;f;nfnfnf
2211122
==+−=+
h)
()()()
;f;nfnf
41182
=+=+
5. Привести пример линейного рекуррентного соотношения 2-го порядка,
среди решений которого имеются следующие функции:
a)
()
;n
n
3
=
ϕ
b)
()
;n
nn
523
−⋅=
ϕ
c)
()
;n
n
12
−=
ϕ
d)
()
;nn
17
−=
ϕ
6. Найти такую последовательность, что
αα
221
cos)(f,cos)(f
=
==
==
==
=
и
0122
=
==
=+
++
++
++
+−
−−
−+
++
+
)n(f)n(fcos)n(f
α
.
7. Найти последовательность такую, что
n
)n(f)n(f)n(f
28122
=
==
=−
−−
−+
++
++
++
++
++
+
.
8. Проанализировать рекуррентное соотношение (1), если известно, что один
из корней уравнений (3) равен нулю. Каков порядок этого рекуррентного
соотношения? Доказать, что его общее решение в данном случае имеет
вид:
()
n
aCC,n
11
=
ϕ
. Что можно сказать о решении рекуррентного соотно-
шения (1), если оба корня уравнения (3) равны нулю?
9. Последовательность Фибоначчи задается следующим рекуррентным со-
отношением:
()()()
nFnFnF ++=+
12 и начальными условиями
() ( )
121
== FF
. Найти общий член этой последовательности. Выписать
первые 10 чисел Фибоначчи. Доказать, что для любых натуральных
m
и
n
справедливы соотношения:
49
Рекуррентные соотношения
g) f (n +3) +3 f (n +2 ) +3 f (n +1) + f (n ) =0;
h) f (n +4 ) +4 f (n ) =0.
4. Найти f (n ), зная рекуррентное соотношение и начальные члены:
a) f (n +2 ) −5 f (n +1) +6 f (n ) =0 , f (1) =1, f (2 ) =−7 ,
b) f (n +2 ) −4 f (n +1) +4 f (n ) =0 , f (1) =2 , f (2 ) =4 ,
1 1
c) f (n +2 ) + f (n +1) + f (n ) =0 , f (1) =− , f (2 ) =− .
4 2
d) f (n +2 ) =2 f (n +1) − f (n ); f (1) =2; f (2 ) =4;
e) f (n +2 ) =4 f (n +1) +5 f (n ); f (1) =1; f (2 ) =5;
f) f (n +2 ) =6 f (n +1) −9 f (n ); f (1) =0; f (2 ) =3;
g) f (n +2 ) =2 f (n ) − f (n +1); f (1) =1; f (2 ) =2;
h) f (n +2 ) =8 f (n +1); f (1) =4;
5. Привести пример линейного рекуррентного соотношения 2-го порядка,
среди решений которого имеются следующие функции:
a) ϕ (n ) =3 n ; b) ϕ (n ) =3 ⋅ 2 n −5 n ;
c) ϕ (n ) =2 n −1; d) ϕ (n ) =n −17;
6. Найти такую последовательность, что f ( 1) =cos α , f ( 2 ) =cos 2α и
f ( n +2 ) −2 cos α f ( n +1) + f ( n ) =0 .
7. Найти последовательность такую, что
f ( n +2 ) +2 f ( n +1) −8 f ( n ) =2 n .
8. Проанализировать рекуррентное соотношение (1), если известно, что один
из корней уравнений (3) равен нулю. Каков порядок этого рекуррентного
соотношения? Доказать, что его общее решение в данном случае имеет
вид: ϕ (n , C ) =C1 a1n . Что можно сказать о решении рекуррентного соотно-
шения (1), если оба корня уравнения (3) равны нулю?
9. Последовательность Фибоначчи задается следующим рекуррентным со-
отношением: F (n +2) =F (n +1) +F (n ) и начальными условиями
F (1) =F (2 ) =1 . Найти общий член этой последовательности. Выписать
первые 10 чисел Фибоначчи. Доказать, что для любых натуральных m и n
справедливы соотношения:
