Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 30 стр.

                                       32
                                                            f ′( x k )
   Шаг 4. Вычислить                         x k +1 =x k −               .
                                                            f ′′( x k )
   Шаг 5. Положить k =k +1. Перейти к шагу 2.
   Исследования метода Ньютона показывают, что при достаточно близком
к точке минимума x * выборе начального приближения x 0 , гарантируется
скорость сходимости последовательности x k , k =0,1,... к x * вида
               k
x k −x * ≤Cq 2 , q ∈(0;1), C >0 ,       q и C зависят от функции f (x) и
выбора точки x 0 . Если начальное приближение x 0 выбрано не достаточно
близко к точке x * , то последовательность x k , k =0,1,... метода Ньютона
может расходиться. В подобных случаях необходимо найти лучшее
начальное приближение x 0 , например, с помощью нескольких итераций
метода золотого сечения.
                                                           1
         Пример 5. Найти минимум функции f ( x) =xarctgx − ln(1 +x 2 )
                                                           2
методом Ньютона.
          Решение.      Данная   функция    дважды   дифференцируема     и
              1
 f ′′( x) =         >0 . В качестве начального приближения возьмем точку
            1 +x 02
x 0 =1 , положим ε =10 −7 .
1. Вычислим f ′( x 0 ) =0,785 .
2. Поскольку f ′( x 0 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                         f ′( x 0 )
3. Вычислим x1 =x 0 −                =−0,57 .
                         f ′′( x 0 )
4. Положим k =1 . Перейти к шагу 2.
5. Вычислим f ′( x1 ) =−0,519 .
6. Поскольку f ′( x1 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                          f ′( x1 )
7. Вычислим x 2 =x1 −                 =0,117 .
                          f ′′( x1 )
8. Положим k =2 . Перейти к шагу 2.
9. Поскольку f ′( x 2 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                           f ′( x 2 )
10. Вычислим x3 =x 2 −                 =−1,061 ⋅10 −3 .
                           f ′′( x 2 )
11. Положим k =3 . Перейти к шагу 2.
12. Вычислим f ′( x 3 ) =−1,061 ⋅10 −3 .
13. Поскольку f ′( x3 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                         f ′( x 3 )
14. Вычислим x 4 =x3 −              =9 ⋅10 −8 .
                         f ′′( x3 )