Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
Шаг 4. Вычислить
)(
)(
1
k
k
kk
xf
xf
xx
′′
′
−=
+
.
Шаг 5. Положить
1
+
=
k
k
. Перейти к шагу 2.
Исследования метода Ньютона показывают, что при достаточно близком
к точке минимума
*
x
выборе начального приближения
0
x , гарантируется
скорость сходимости последовательности
k
x ,
,...
1
,
0
=
k
к
*
x
вида
0),1;0(,
2*
>∈≤− CqCqxx
k
k
,
q
и
C
зависят от функции
x
f
и
выбора точки
0
x . Если начальное приближение
0
x выбрано не достаточно
близко к точке
*
x
, то последовательность
k
x ,
,...
1
,
0
=
k
метода Ньютона
может расходиться . В подобных случаях необходимо найти лучшее
начальное приближение
0
x , например, с помощью нескольких итераций
метода золотого сечения.
Пример 5. Найти минимум функции
)1ln(
2
1
)(
2
xxarctgxxf +−=
методом Ньютона.
Решение. Данная функция дважды дифференцируема и
0
1
1
)(
2
0
>
+
=
′′
x
xf . В качестве начального приближения возьмем точку
1
0
=
x , положим
7
10
−
=
ε
.
1. Вычислим 785,0)(
0
=
′
xf .
2. Поскольку
7
0
10)(
−
=>
′
εxf , то перейдем к шагу 4.
3. Вычислим
57,0
)(
)(
0
0
01
−=
′′
′
−=
xf
xf
xx
.
4. Положим
1
=
k
. Перейти к шагу 2.
5. Вычислим 519,0)(
1
−
=
′
xf .
6. Поскольку
7
1
10)(
−
=>
′
εxf , то перейдем к шагу 4.
7. Вычислим
117,0
)(
)(
1
1
12
=
′′
′
−=
xf
xf
xx
.
8. Положим
2
=
k
. Перейти к шагу 2.
9. Поскольку
7
2
10)(
−
=>
′
εxf , то перейдем к шагу 4.
10. Вычислим
3
2
2
23
10061,1
)(
)(
−
⋅−=
′′
′
−=
xf
xf
xx
.
11. Положим
3
=
k
. Перейти к шагу 2.
12. Вычислим
3
3
10061,1)(
−
⋅−=
′
xf .
13. Поскольку
7
3
10)(
−
=>
′
εxf , то перейдем к шагу 4.
14. Вычислим
8
3
3
34
109
)(
)(
−
⋅=
′′
′
−=
xf
xf
xx
. 
                                       32
                                                            f ′( x k )
   Шаг 4. Вычислить                         x k +1 =x k −               .
                                                            f ′′( x k )
   Шаг 5. Положить k =k +1. Перейти к шагу 2.
   Исследования метода Ньютона показывают, что при достаточно близком
к точке минимума x * выборе начального приближения x 0 , гарантируется
скорость сходимости последовательности x k , k =0,1,... к x * вида
               k
x k −x * ≤Cq 2 , q ∈(0;1), C >0 ,       q и C зависят от функции f (x) и
выбора точки x 0 . Если начальное приближение x 0 выбрано не достаточно
близко к точке x * , то последовательность x k , k =0,1,... метода Ньютона
может расходиться. В подобных случаях необходимо найти лучшее
начальное приближение x 0 , например, с помощью нескольких итераций
метода золотого сечения.
                                                           1
         Пример 5. Найти минимум функции f ( x) =xarctgx − ln(1 +x 2 )
                                                           2
методом Ньютона.
          Решение.      Данная   функция    дважды   дифференцируема     и
              1
 f ′′( x) =         >0 . В качестве начального приближения возьмем точку
            1 +x 02
x 0 =1 , положим ε =10 −7 .
1. Вычислим f ′( x 0 ) =0,785 .
2. Поскольку f ′( x 0 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                         f ′( x 0 )
3. Вычислим x1 =x 0 −                =−0,57 .
                         f ′′( x 0 )
4. Положим k =1 . Перейти к шагу 2.
5. Вычислим f ′( x1 ) =−0,519 .
6. Поскольку f ′( x1 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                          f ′( x1 )
7. Вычислим x 2 =x1 −                 =0,117 .
                          f ′′( x1 )
8. Положим k =2 . Перейти к шагу 2.
9. Поскольку f ′( x 2 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                           f ′( x 2 )
10. Вычислим x3 =x 2 −                 =−1,061 ⋅10 −3 .
                           f ′′( x 2 )
11. Положим k =3 . Перейти к шагу 2.
12. Вычислим f ′( x 3 ) =−1,061 ⋅10 −3 .
13. Поскольку f ′( x3 ) >ε =10 −7 , то перейдем к шагу 4.
                         f ′( x 3 )
14. Вычислим x 4 =x3 −              =9 ⋅10 −8 .
                         f ′′( x3 )

Страницы