Методы оптимизации. Азарнова Т.В - 31 стр.

                                       33
15. Положим k =4 . Перейти к шагу 2.
16. Вычислим f ′( x 4 ) =9 ⋅10 −8 .
17. Поскольку    f ′( x3 ) <ε =10 −7 , процесс поиска заканчивается. В качестве
    решения задачи принимается точка x * =x 4 =9 ⋅10 −8 ≈0 .
    Быстрая сходимость метода Ньютона для рассмотренного примера
объясняется      хорошим выбором начального приближения x 0 . Если,
например, для данной функции в качестве начального приближения выбрать
x 0 =3 , то методом будет генерироваться последовательность точек
   x1 =−9,5; x 2 =124; x 3 =−23905; x 4 =8,97 ⋅10 8 ; x 5 =−1,27 ⋅1018 ;... ,
которая расходится.
                 Задачи для самостоятельного решения

1. Различными численными методами одномерной минимизации (метод
   перебора, метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, метод
   хорд, метод Ньютона) найти решение следующих задач.
   1) f ( x) =x 3 −3 sin x → min, x ∈[0,1], x * =0,8241 ;
   2) f ( x) =x 4 +x 2 +x +1 → min, x ∈[ −1,0], x * =−0,3855 ;
                   1
   3) f ( x) =e x + → min, x ∈[0,5;1,5], x * =0,7035 ;
                   x
   4) f ( x) =x +e −x → min, x ∈[0,1], x * =0,3517 ;
                2

   5) f ( x) =x 2 +x +sin x → min,   x ∈[ −1;0], x * =−0,8354 ;
   6) f ( x) =x 2 −x +e −x → min, x ∈[0;1], x * =0,7388 .
2. Может ли применение методов исключения отрезков привести к
   неверному определению x * , если функция f (x) не является
   унимодальной? Ответ пояснить рисунком.
3. Требуется найти точку минимума унимодальной функции на отрезке
   длины 1 с точностью ε =0,02 . Имеется возможность измерить не более 10
   значений функции f (x) . Какой из прямых методов минимизации можно
   использовать для этого?
4. Указать класс функций, для которых точное определение точки минимума
   гарантировано в результате всего одной итерации метода Ньютона?

         Методы безусловной минимизации в Rn
Для численного решения задач безусловной минимизации вида
                               f ( x) → min
                                            x∈R n
разработано много алгоритмов, использующих итерационные процедуры
x k +1 =x k +α k y k , где y k −направление поиска точки xk+1 из точки xk, а
число α k - величина шага в выбранном направлении. Работа таких
алгоритмов на каждой итерации происходит по следующей схеме: