Составители:
Рубрика:
Криволинейный интеграл (6) называется циркуляцией вектора E
!
. Следовательно, можно ска-
зать, что циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура
равна нулю Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора E
!
.
Напряженность E
!
и потенциал φ электрического поля, создаваемого точечным зарядом q опре-
деляется по формулам
r
e
r
q
E
!
!
2
0
4
1
ε
εε
επε
πεπε
πε
=
==
=
(7)
r
q
ε
εε
επε
πεπε
πε
=
==
=ϕ
ϕϕ
ϕ
0
4
1
(8)
где ε
0
- электрическая постоянная; ε - диэлектрическая проницаемость среды; г-расстояние от
заряда до рассматриваемой точки поля; r/re
r
!!
=
==
= единичный вектор, направленный от заряда в
данную точк у.
Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами, то, согласно принципу
суперпозиции, результирующая напряженность и потенциал в любой его точке вычисляются по
формулам
∑
∑∑
∑
=
==
=
=
==
=
N
i
i
EE
1
!!
(9)
∑
∑∑
∑
=
==
=
ϕ
ϕϕ
ϕ=
==
=ϕ
ϕϕ
ϕ
N
i
i
1
(10)
Отметим, что при наложении полей напряженности складываются векторно, а потенциалы - ал-
гебраически. Используя формулы (7) и (9), можно вычислить напряженность электрического
поля, создаваемого любыми заряженными телами. Для этого заряженное тело разбивают на
бесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность
поля по принципу суперпозиции.
Наряду с принципом суперпозиции для нахождения напряженности электрических полей заря-
женных тел, которые обладают симметрией, применяют теорему Гаусса.
Теорема Га усса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля в вакууме
через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленной на ε
0
:
(
((
()
))
)
∑
∑∑
∑
∫
∫∫
∫
=
==
=
ε
εε
ε
=
==
=
N
i
i
S
qSd,E
1
0
1
!
!
(11)
Теорема Гаусса в интегральной форме (11) связывает значения вектора E
!
в точках некоторой
замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой
поверхностью, т.е. связывает величины, относящиеся к разным точкам поля. Можно, однако,
придать этой теореме форму, включающую величины, относящиеся к одной и той же точке по-
ля:
0
ε
εε
ε
ρ
ρρ
ρ
=
==
=
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
+
++
+
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
+
++
+
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
z
E
y
E
x
E
z
y
x
(12)
где ρ- объемная плотность электрических зарядов. Соотношение (12), выражающее теорему Га-
усса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона.
Учитывая, что сумма частных производных в (12) есть дивергенция (расхождение) вектора E
!
,
уравнение Пауссона можно записать в следующем виде:
0
ε
εε
ε
ρ
ρρ
ρ
=
==
=
Ediv
!
(13)
!
Криволинейный интеграл (6) называется циркуляцией вектора E . Следовательно, можно ска-
зать, что циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура
!
равна нулю Это утверждение называют теоремой о циркуляции вектора E .
!
Напряженность E и потенциал φ электрического поля, создаваемого точечным зарядом q опре-
деляется по формулам
! 1 q !
E= er (7)
4πε 0 ε r 2
1 q
ϕ= (8)
4πε 0 ε r
где ε0 - электрическая постоянная; ε - диэлектрическая проницаемость среды; г-расстояние от
! !
заряда до рассматриваемой точки поля; e r = r / r единичный вектор, направленный от заряда в
данную точку.
Если электрическое поле создается несколькими точечными зарядами, то, согласно принципу
суперпозиции, результирующая напряженность и потенциал в любой его точке вычисляются по
формулам
! N !
E = ∑ Ei (9)
i =1
N
ϕ = ∑ ϕi (10)
i =1
Отметим, что при наложении полей напряженности складываются векторно, а потенциалы - ал-
гебраически. Используя формулы (7) и (9), можно вычислить напряженность электрического
поля, создаваемого любыми заряженными телами. Для этого заряженное тело разбивают на
бесконечно малые части и, рассматривая их как точечные заряды, вычисляют напряженность
поля по принципу суперпозиции.
Наряду с принципом суперпозиции для нахождения напряженности электрических полей заря-
женных тел, которые обладают симметрией, применяют теорему Гаусса.
Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля в вакууме
через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленной на ε0:
∫( )
! ! 1 N
E, dS =
ε0
∑q
i =1
i
(11)
S
!
Теорема Гаусса в интегральной форме (11) связывает значения вектора E в точках некоторой
замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой
поверхностью, т.е. связывает величины, относящиеся к разным точкам поля. Можно, однако,
придать этой теореме форму, включающую величины, относящиеся к одной и той же точке по-
ля:
∂E x ∂E y ∂E z ρ
+ + = (12)
∂x ∂y ∂z ε0
где ρ- объемная плотность электрических зарядов. Соотношение (12), выражающее теорему Га-
усса в дифференциальной форме, носит название уравнения Пуассона.
!
Учитывая, что сумма частных производных в (12) есть дивергенция (расхождение) вектора E ,
уравнение Пауссона можно записать в следующем виде:
! ρ
div E = (13)
ε0
