Высокопроизводительные вычисления на кластерах. Беликов Д.А - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

98
6 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Основная задача вычислительной линейной алгебры – это реше-
ние систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ,
... ,
...
... .
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(6.1)
Предполагается, что матрица А неособенная,
det 0
A
, т.е. ре-
шение системы (6.1) единственно.
Численные методы решения СЛАУ делятся на две большие
группы: прямые и итерационные. Прямые методы при отсутствии
ошибок округления за конечное число арифметических операций
позволяют получить точное решение
x
. В итерационных методах
задается начальное приближение
0
x
и строится последовательность
приближенных решений
*
k
k
x x

, где
k
– номер итерации.
В действительности итерационный процесс прекращается, как толь-
ко
k
x
становится достаточно близким к
x
.
Итерационные методы привлекательнее с точки зрения объема
вычислений и требуемой памяти, когда решаются системы с матри-
цами высокой размерности. При небольших порядках системы ис-
пользуют прямые методы либо прямые методы в сочетании с итера-
ционными методами.
6.1 Решение СЛАУ методом Гаусса
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Ax b
с невырожденной матрицей
A
размерностью
n n
. Будем считать
матрицу
A
заполненной, т.е. содержащей небольшое число ненуле-
вых элементов.
Одним из прямых методов решения линейных систем (6.1) явля-
ется применение метода исключения Гаусса. Суть этого метода со-
стоит в том, что матрица
A
сначала упрощается – приводится экви-
валентными преобразованиями к треугольному или диагональному

Страницы