Основы теории надежности. Белоногов А.С. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

16
S
1
состояние системы, при котором элементы 1 и 2 находятся в работоспособном
состоянии, элемент 3 – в состоянии отказа;
S
2
состояние системы, при котором элементы 1 и 3 находятся в работоспособном
состоянии, элемент 2 – в состоянии отказа;
S
3
полный отказ системы.
3.Исходя из количества работоспособных вершин системы следует, что число
уравнений в системе дифференциальных уравнений равно трем:
()
()()
()
() ( ) ()
()
() ( ) ()
+=
+=
++=
tt
dt
td
tt
dt
td
t
dt
td
23102
2
11203
1
0123
0
PλλPλ
P
PλλPλ
P
Pλλλ
P
. (3.1)
Для решения системы уравнений (3.1) перейдем от оригинала к изображению,
используя преобразования Лапласа. Получим:
() ()
(
)
(
)
() () () ( ) ()
() () () ( ) ()
+=
+=
++=
kkkk
kkkk
kkk
2310222
1120311
012300
PλλPλ0PP
PλλPλ0PP
Pλλλ0PP
. (3.2)
Для решения системы дифференциальных уравнений (3.2) необходимо выбрать
начальные условия. Так как в первоначальный момент времени (момент включения)
система находится в состоянии S
0
, следовательно, вероятность нахождения системы в
этом состоянии будет равна 1, т.е. Р
0
(0)=1, а в состояниях Р
1
(0) и Р
2
(0) вероятность будет
равна 0.
Поэтому:
() ( )
(
)
() () ( ) ()
() () ( ) ()
+=
+=
++=
kkkk
kkkk
kkk
231022
112031
01230
PλλPλP
PλλPλP
Pλλλ1P
. (3.3)
Из первого уравнения системы (3.3) получим:
()
123
0
λλλ
1
P
+++
=
k
k . (3.4)
Выражение для
()
k
1
P, используя (3.4) принимает вид:
()
()( )
12312
3
1
λλλλλ
λ
P
+++++
=
kk
k . (3.5)
Выражение для
(
)
k
2
P
принимает вид:
()
()( )
12331
2
2
λλλλλ
λ
P
+++++
=
kk
k . (3.6)
Перейдем от изображения к оригиналу, используя следующие соотношения:
ta
e
ak
⎯→
+
1
, (3.7)
()()
(
)
tbta
ee
abbkak
⎯→
++
11
. (3.8)
В результате получим: