Основы применения вычислительной техники и программирование. Беспалов В.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Конечно, перед описанием процедуры необходимо описать по-
дынтегральную функцию f(x). Смотрите описание функций в 3.1.
Замечание!
При вычислении интеграла функция должна браться
по модулю, т. к. площадь фигуры всегда положительна, независимо от
того, что функция может быть и отрицательной. Для упрощения про-
граммы модуль можно вставить сразу в описание функции.
5.4. Вычисление интегралов с заданной точностью
и оценка методов интегрирования
Оценка погрешности усечения R в формулах численного интегри-
рования оказывается трудоемкой и малоэффективной из-за трудностей
оценки производных высокого порядка подынтегральных функций. По-
этому в практических расчетах для достижения требуемой точности вы-
числений или допустимой погрешности E используют правило Рунге.
Согласно этому правилу вычисление заданного интеграла прово-
дят для разных интервалов разбиения отрезка [A,B]. Так, если начальное
число интервалов разбиения есть n и соответствующее ему приближен-
ное значение интеграла – I
n
, то для числа интервалов 2n получим значе-
ние интеграла I
2n
. Число интервалов можно увеличивать в 2, 3 и т. д. раз
по сравнению с базовым значением n. При двукратном увеличении чис-
ла отрезков погрешность Δ приближенного значения интеграла для ме-
тодов прямоугольников и трапеций оценивается как
Δ = | I
n
– I
2n
| / 3.
Если Δ > E, то количество интервалов разбиения [A,B] опять уве-
личивают вдвое, т. е. значение I вычисляют для 4n. Такое удвоение по-
вторяют до тех пор, пока не выполнится условие Δ < E. Необходимо
помнить, что общая погрешность вычислений, равная сумме погрешно-
стей
усечения и округления, сначала с ростом интервалов разбиения
уменьшается за счет уменьшения ошибки усечения до некоторого «кри-
тического» значения n
кр
, а затем увеличивается из-за увеличения оши-
бок округления.
Таким образом, не для всякой функции можно получить результат
с заданной погрешностью.
•
Методы левых и правых прямоугольников практически не
применяются из-за их низкой точности.
•
В некоторых случаях метод средних дает лучшую точность,
чем метод трапеций.
47

Страницы