ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
го, вектор оценок
)
)
YX
β
= зависимой переменной минимально (в смысле квад-
рата нормы разности) отличается от вектора
Y
заданных значений:
)
)
22
min
YYYXβ−=−→ по
)
β
.
Ковариационная (дисперсионная) матрица равна
)
)
(
)
)
(
)
(
)
1
22
T
T
DXXZ
βββββσσ
−
=−−== , ( 16 )
где
(
)
1
T
ZXX
−
=
Далее обозначим вектор остатков (или невязок )
)
)
(
)
1
TT
eYYYXIXXXXYBY
β
−
=−=−=−=
( 17 )
здесь
(
)
1
TT
BIXXXX
−
=−
– матрица; можно проверить, что
2
BB
=
. Для
остаточной суммы квадратов
2
e
справедливо соотношение
2
22
1
(1)
n
i
i
MeMenk
σ
=
==−−
∑
,
откуда следует, что несмещенной оценкой для
2
σ
является
2
2
11
T
e
YBY
s
nknk
==
−−−−
. ( 18 )
В предположениях модели справедливы следующие свойства оценок :
1)
2
2
(1)
s
nk
σ
−−
имеет распределение хи-квадрат с
1
nk
−−
степенями
свободы (
2
1
nk
χ
−−
);
2) оценки
)
β
и
2
s
независимы .
Как и в случае простой регрессии, справедливо соотношение
(
)
)
(
)
)
(
)
22
2
ii
iii
iii
yyyyyy
−=−+−
∑∑∑
или
SS
T
= SS
E
+ SS
R
. ( 19 )
го, вектор оценок Y =X β зависимой переменной минимально (в смысле квад-
рата нормы разности) отличается от вектора Y заданных значений:
2 2
Y −Y = Y −X β → min по β .
Ковариационная (дисперсионная) матрица равна
( )(
D β = β −β β −β =σ 2 ( X T X ) =σ 2 Z , )
T −1
( 16 )
( )
−1
где Z = X T X
Далее обозначим вектор остатков (или невязок)
( )
−1
e =Y −Y =Y −X β =� I −X X T X X � T Y =BY ( 17 )
� �
( )
−1
здесь B =I −X X T X XT – матрица; можно проверить, что B 2 =B . Для
2
остаточной суммы квадратов e справедливо соотношение
n
M e =M ∑ ei2 =(n −k −1)σ 2 ,
2
i =1
откуда следует, что несмещенной оценкой для σ 2 является
2
e Y T BY
s = 2
= . ( 18 )
n −k −1 n −k −1
В предположениях модели справедливы следующие свойства оценок:
s2
1) ( n −k −1) 2 имеет распределение хи-квадрат с n −k −1 степенями
σ
свободы ( χn2−k −1 );
2) оценки β и s 2 независимы.
Как и в случае простой регрессии, справедливо соотношение
∑(y ) =∑ ( y −y ) +∑ ( y )
2 2 2
i −y i i i −y i
i i i
или
SST = SSE + SSR . ( 19 )
