Электромагнетизм. Булгаков Н.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

определённым периодом электромагнитные колебания.
Колебания в электрическом контуре сопоставимы с механическими колебаниями, например, груза на пружине.
Во время колебательного процесса происходит переход энергии из одной формы в другую. При колебаниях груза
потенциальная энергия растянутой (или сжатой) пружины переходит в кинетическую энергию движущегося груза. В слу-
чае электромагнитных колебаний в контуре при разряде конденсатора его электрическая энергия переходит в энергию
магнитного поля тока в катушке. В реальных случаях часть энергии расходуется на так называемые диссипативные про-
цессы. Так, при колебаниях груза амплитуда уменьшается со временем вследствие трения, излучения, т.е. отдачи энергии
во внешнюю среду, которую возмущает колеблющейся груз, и других явлений. Амплитуда электромагнитных колебаний
также уменьшается вследствие потерь энергии из-за нагрева активного сопротивления, которое всегда присутствует (ка-
тушка имеет омическое сопротивление), и излучения электромагнитных волн, так как контур не является идеально за-
крытым. При небольших частотах колебаний последним фактором можно пренебречь. В результате электромагнитные
колебания, так же как и механические будут затухающими.
Для нахождения уравнения, описывающего характер электромагнитных колебаний в реальном колебательном кон-
туре, можно воспользоваться законом изменения энергии контура во времени:
tRdI
LI
C
q
d
2
22
22
−=
+
, (2)
где Cq 2
2
– энергия электрического поля в конденсаторе; 2
2
LI – энергия магнитного поля в катушке индуктивности;
RdtI
2
– тепловая энергия, выделяющаяся в активном сопротивлении контура за время dt.
Учитывая, что
dt
dq
I =
, из уравнения (2) получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:
0
1
2
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
или, введя обозначения
2
0
1 ω=LC
– квадрат собственной круговой частоты колебаний в контуре, β2
=
LR – коэффици-
ент затухания, получим окончательно уравнение в виде:
02
2
0
=ω+β+ qqq
&&&
, (3)
которое при условии
2
0
2
ωβ < имеет следующее решение:
(
)
0
β
0
cos ϕ+ω=
−
teqq
t
, (4)
где )(
0
tqeq
t
=
β−
– амплитуда колебаний заряда конденсатора в момент времени t,
0
q – значение заряда при 0
=
t ;
0
ϕ
–
начальная фаза колебаний. Круговая частота затухающих колебаний
,βωω
22
0
−= отличающаяся от частоты собствен-
ных колебаний
0
ω ,определяет условный период этих колебаний:
2
2
4
1
2
2
L
R
LC
T −π=
ω
π
=
, (5)
где R, L и C – соответственно активное сопротивление контура, индуктивность катушки и емкость конденсатора.
Затухание колебаний характеризуется величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания:
(
)
()
,ln T
Ttq
tq
β=
+
=δ (6)
или с учетом выражений для
β
и T
4
4
1
2
2
2
R
C
L
R
L
R
LC
LR −π=
−π=δ
. (7)
В технике качество колебательной системы характеризуется так называемой добротностью θ контура. Добротностью
называют физическую величину равную произведению числа
π
на количество полных колебаний N, в течение которых
амплитуда уменьшается в
e раз. Из условия
(
)
eeqeq
NTtt
=
+β−β−
00
находим TN
β
=
1 . Тогда
4
1
2
R
C
L
RT
−=
δ
π
=
β
π
=θ
. (8)
В случае, когда
2
0
2
ω≥β , т.е.
LC
L
R
1
4
2
2
≥ выражение для периода колебаний
22
412 LRLCT −π= теряет смысл и
периодический процесс в контуре переходит в апериодический, при этом сопротивление контура

Страницы